miniatura|Paraboloide de Flamm (solución exterior de Schwarzschild). Na xeometría de Riemann, o tensor métrico é un tensor de rango 2 empregado para definir conceptos métricos como distancia, ángulo e volume nun espazo localmente euclidiano.
Definición Unha vez que se elixe unha base local, o tensor métrico aparece como unha matriz, denotada convencionalmente como g (véxase tamén métrica). A notación emprégase convencionalmente para as compoñentes -ésimas do tensor. Así, fixada unha base coordenada, o tensor métrico exprésase como:Outro xeito máis cómodo de escribilo é empregando o convenio de sumación de Einstein (que usaremos de aquí en diante para o resto do artigo como):Na física adóitase escribir a métrica como o cadrado do elemento de liña. Dado que o tensor é simétrico, a notación física é equivalente á notación anterior:
Lonxitude, ángulo e volume A lonxitude dun segmento dunha curva dada parametrizada por , dende até , defínese como:O ángulo entre dous vectores Ou e V (ou entre dúas curvas cuxos vectores tanxentes Ou e V ) defínese como:
O n-volume dunha rexión dunha variedade de dimensión , vén dado pola integral estendida á devandita rexión da -forma de volume:
Para computar o tensor métrico dun conxunto de ecuacións que relacionan o espazo co espazo cartesiano ( = : véxase a páxina sobre delta de Kronecker para máis detalles), atope o xacobiano do conxunto de ecuacións, e multiplique o (produto exterior) traspuesto dese xacobiano polo xacobiano orixinal, é dicir:
Exemplos de métricas euclídeas Unha métrica euclídea non é outra cousa máis que unha métrica arbitraria definida sobre un espazo euclídeo. Un espazo métrico é euclídeo se o tensor de curvatura é identicamente nulo en todo o espazo. Cando se empregan coordenadas cartesianas nun espazo euclídeo, as compoñentes do tensor métrico son constantes e, polo tanto, os símbolos de Christoffel son tamén nulos. Con todo, en moitos problemas empregar outra clase de coordenadas como poden selo as coordenadas polares, cilíndricas, esféricas, etc. Neste caso, aínda cando o espazo é euclídeo, as compoñentes do tensor métrico expresado nestas coordenadas non son constantes, e os símbolos de Christoffel non se anulan. A continuación danse algúns exemplos de coordenadas frecuentes.
Os sistemas de coordenadas ortogonais caracterízanse porque neses o tensor métrico ten unha forma diagonal. A continuación preséntanse exemplos de métricas para un espazo euclídeo. O feito de que o espazo sexa localmente euclídeo queda reflectido en que o tensor de curvatura calculado para todas as métricas que seguen é identicamente nulo.
Coordenadas cartesianas Dado o tensor métrico euclidiano en dúas dimensións en coordenadas cartesianas , tense: Isto é debido a que e . De acordo coa notación da delta de Kronecker podemos expresalo como . A lonxitude dunha curva parametrizada mediante o parámetro redúcese á fórmula familiar do cálculo (teorema de Pitágoras):ou ben nunha notación máis familiar:
Coordenadas polares Para as coordenadas polares , tense:Do cal séguese que a lonxitude da curva vén dada neste caso por:
Coordenadas cilíndricas Para as coordenadas cilíndricas:
A lonxitude é:
Coordenadas esféricas Para as coordenadas esféricas:
A lonxitude neste caso:
Exemplos de métricas non euclídeas Todos os exemplos anteriores están asociados a métricas euclídeas, caracterizadas polo feito de que o tensor de curvatura anúlase identicamente en todos os puntos.
Métricas non euclídeas en xeometría Sobre unha esfera de raio , parametrizada polo ángulo polar e o ángulo azimutal(lonxitude a altitude) () adóitase considerar o tensor métrico inducido pola distancia euclídea do espazo tridimensional que contén á esfera:Pode probarse que mediante ningunha transformación posible de coordenadas o tensor métrico nesas coordenadas será igual ao tensor métrico do espazo euclídeo bidimensional, o cal evidencia que ese tensor representa unha xeometría non euclídea (ademais a súa curvatura escalar é precisamente ). Pode probarse que dada unha curva sobre a devandita esfera , a súa lonxitude vén dada:Asemade, fixados dous puntos sobre a esfera, a curva de distancia mínima entre dous puntos(curva xeodésica), é ademais unha curva con curvatura mínima. A curva de lonxitude mínima entre dous puntos nunha esfera pode obterse buscando a intersección dun plano que conteña aos dous puntos e ao centro da esfera, entón a intersección entre o devandito plano e a esfera é un círculo máximo, e polo tanto con radio máximo (e, polo tanto, de curvatura mínima).
Nunha esfera pensada como variedade riemanniana os círculos máximos son curvas xeodésicas.
Métricas non euclídeas na física De acordo coa teoría da relatividade xeral, na presenza de materia, a xeometría do espazo-tempo non é plana, é dicir, está caracterizada por un tensor de curvatura que non é identicamente nulo en todos os puntos da variedade. Este tensor de curvatura pode ser relacionado co tensor de enerxía-impulso, que representa o contido material do modelo de universo que se estea analizando. Algúns exemplos de tensores métricos non euclídeos procedentes da teoría relatividade xeral que se empregan como modelos de universo son:
Métrica de Schwarzschild, que representa a xeometría do espazo-tempo ao redor dun corpo esférico illado e estático (que non vira ao redor de si mesmo). Métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker, que se pensa que dá unha boa aproximación da estrutura do universo en expansión a grandes escalas.
Por exemplo, a grandes liñas, a métrica solar lonxe dos planetas, satélites e outras concentracións de materia pode considerarse como un exemplo bastante aproximado de métrica de Schwarzschild, sendo os seus compoñentes (nas coordenadas case-esféricas de Schwarzschild centradas no Sol: ):Obsérvese que a submatriz de que se refire ás coordenadas espaciais é semellante a unha métrica esférica, diferindo só no termo . En coordenadas esféricas , e a métrica resulta plana e polo tanto representa un espazo euclídeo, con todo, na métrica de Schwarzschild os termos caracterizan a curvatura do espazo-tempo por culpa do campo gravitatorio do Sol.
Por outra banda, a métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker considérase que podería ser un modelo axeitado do universo a escalas bastante máis grandes que a dunha galaxia. No sistema comóbil pseudo-esférico esta métrica resulta ser:Para resulta un universo aberto que se expande sen límite, mentres que para , a métrica anterior describe un universo pechado e finito que, en ausencia de enerxía escura, tras expandirse até un máximo recolapsa sobre si mesmo dando lugar ao big crunch. Se hai unha cantidade importante de enerxía escura, un universo con segue sendo pecho e finito, pero nel a expansión non se detén.
Bibliografía
(Texto en español) (Texto en español) (Texto en español)
(Texto en español)
Categoría:Xeometría diferencial Categoría:Física Categoría:Relatividade Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas