miniatura|Unha función vectorial e a súa diverxencia representada coma un campo escalar (vermello indica maior, verde menor).
A diverxencia mide a diferenza entre o fluxo saínte e entrante dun campo vectorial sobre a superficie que rodea un volume de control, polo tanto, se o campo ten "fontes" a diverxencia será positiva, e se ten "sumidoiros", a diverxencia será negativa. A diverxencia mide a rapidez neta coa que se conduce a materia ao exterior de cada punto, e no caso de ser a diverxencia identicamente igual a cero, describe o fluxo incompresible do fluído. Tamén coñecido como campo solenoidal.
A diverxencia dun campo vectorial A diverxencia dun campo vectorial no punto defínese como o fluxo do campo vectorial por unidade de volume conforme o volume ao redor do punto tende a cero, é dicir:
onde é unha superficie pechada que se reduce a un punto no paso ao límite. O símbolo representa o operador nabla. Para unha mellor comprensión do tema, é recomendable ler a páxina: "Integral de superficie".
Esta definición está directamente vencellada co concepto de fluxo do campo. Como no caso do fluxo, se a diverxencia nun punto é positiva, dise que o campo posúe fontes. Pola contra, se a diverxencia é negativa, dise que ten sumideiros. O exemplo máis característico é o das cargas eléctricas, que dan a diverxencia do campo eléctrico, sendo as cargas positivas fontes, e as negativas sumideiros do campo eléctrico.
Chámanse fontes escalares do campo , , ao campo escalar que se obtén a partir da diverxencia de :
A diverxencia dun campo vectorial relaciónase co fluxo a través do teorema de Gauss ou teorema da diverxencia.
Coordenadas cartesianas En , a diverxencia dun campo vectorial continuamente diferenciable dado por:
está definido como a función escalar:
Coordenadas cilíndricas En coordenadas cilíndricas :
Coordenadas esféricas En coordenadas esféricas :
Coordenadas ortogonais Porén, para un caso máis xeral de coordenadas ortogonais curvilíneas, como as cilíndricas ou as esféricas, a expresión vólvese máis complicada debido á dependencia das compoñentes do campo cos vectores da base. A expresión para un sistema de coordenadas ortogonais vén dada por:
Onde os son os factores de escala do sistema de coordenadas, vencellados coa forma do tensor métrico no devandito sistema de coordenadas. Esta fórmula xeral, para o caso de coordenadas cartesianas () redúcese á expresión enunciada anteriormente.
Para coordenadas cilíndricas () resulta:
Para coordenadas esféricas () resulta:
Coordenadas xerais En sistemas de coordenadas xerais, non necesariamente ortogonais, a diverxencia dun vector pode expresarse en termos das derivadas parciais respecto das coordenadas e o determinante do tensor métrico:
Propiedades Sexan e dous campos vectoriais e , a diverxencia é un operador lineal:
Se e son dous campos vectoriais en , tense:
En dimensión arbitraria A diverxencia dun campo vectorial pode ser definido para calquera dimensión, se é un campo vectorial en dado por
entón
Para calquera , a diverxencia é un operador lineal e satisfai o análogo á regra do produto:
para calquera función escalar .
Diverxencia dun campo tensorial O concepto de diverxencia pode estenderse a un campo tensorial de orde superior. Nunha variedade de Riemann a diverxencia dun tensor completamente simétrico:
Defínese como:
Por exemplo, na teoría da relatividade especial a enerxía dun sistema represéntase por un tensor simétrico de segunda orde, cuxa diverxencia é nula. De feito, o principio de conservación da enerxía relativista toma a forma:
Teorema da diverxencia O teorema da diverxencia, tamén coñecido como teorema de Gauss, relaciona o fluxo dun campo vectorial a través dunha superficie pechada coa integral da diverxencia de devandito campo no interior do volume encerrado por unha superficie. Ese resultado faino interesante tanto en aplicacións relacionadas coa electrostática como na mecánica de fluídos.
Teorema Sexa unha rexión sólida acoutada por unha superficie pechada orientada por un vector normal unitario que apunta cara ao exterior de , se é un campo vectorial con derivadas parciais continuas en entón:
onde . Para máis información, consultar a páxina: "teorema da diverxencia".
Notas
Véxase tamén Outros artigos Gradiente Teorema da diverxencia Ligazóns externas Vídeo sobre a interpretación física da diverxencia Vídeo sobre a diverxencia en cilíndricas e esféricas
Categoría:Cálculo vectorial Categoría:Análise matemática