mały|Iloczyn teleskopowy przypomina składanie teleskopu, w którym kolejne segmenty wsuwają się w siebie i znikają, pozostawiając jedynie elementy skrajne.
Iloczyn teleskopowy – iloczyn skończony lub nieskończony, którego czynniki po odpowiednim przekształceniu ulegają kolejnej redukcji teleskopowej, pozostawiając jedynie czynniki początkowe i końcowe.
Najczęściej rozważa się iloczyny postaci
,
gdzie jest funkcją określoną na pewnym podzbiorze liczb całkowitych i nie przyjmuje wartości zerowych.
Definicja
Niech oraz niech .
Iloczyn
nazywa się iloczynem teleskopowym, jeżeli istnieje funkcja taka, że
dla każdego .
Wówczas po rozwinięciu iloczynu otrzymujemy
a wszystkie czynniki pośrednie redukują się parami.
Własność podstawowa
Jeżeli
to zachodzi wzór
.
Dowód
Korzystając z definicji, mamy
Po skróceniu wszystkich czynników pozostaje
.
Związek z logarytmowaniem
Jeżeli wszystkie wartości funkcji są dodatnie, to
.
Logarytm iloczynu teleskopowego jest więc sumą teleskopową.
Nieskończone iloczyny teleskopowe
Jeżeli istnieje granica
,
to
.
Przykłady
Przykład elementarny
Rozważmy iloczyn
.
Po rozwinięciu
.
Wszystkie czynniki pośrednie redukują się, więc
.
Nieskończony iloczyn
Rozważmy iloczyn
.
Mamy
,
więc
.
Przechodząc do granicy
.
Przykład logarytmiczny
Niech
.
Wówczas
,
a więc
.
Przykładowy problem
Poniżej została przedstawiona treść przykładowego problemu matematycznego (wraz z odpowiednim rozwiązaniem), w ramach którego możemy napotkać pojęcie iloczynu teleskopowego.Problem. Niech dany będzie ciąg liczb rzeczywistych (), gdzie:
dla , wyraz tego ciągu spełnia następującą zależność:
Ile wynosi wyraz tego ciągu.
Rozwiązanie. Oznaczmy . Wtedy, zależność występującą w treści możemy przepisać w następujący sposób:
Mamy prosty ciąg równości:
Skoro mamy też:
to możemy zapisać jako:
przy czym iloczyn teleskopowy daje nam: Stąd: Wracając teraz do zależności określającej wartość przy :
Ostatecznie zatem: ∎
Przypisy
Kategoria:Analiza matematyczna Kategoria:Matematyka dyskretna