ファジィ集合演算

ファジィ集合演算（ファジィしゅうごうえんざん、）は、通常の集合演算をファジィ集合に対して一般化したものである。実際には複数の一般化が存在する。最も広く用いられる演算は「標準ファジィ集合演算」と呼ばれ、ファジィ補集合、ファジィ積集合、ファジィ和集合から構成される。

標準ファジィ集合演算 A と B を U に属するファジィ集合（A,B ⊆ U）、u を全体集合 U の任意の要素（u ∈ U）とする。 標準補集合

補集合は ¬A の代わりに ∁A や A∁ と表記されることがある。 標準積集合

標準和集合

一般に、三つ組 (i, u, n) がド・モルガン三元対（）と呼ばれるのは、当かつ当のとき（iff）次の条件を満たす場合である： i が、 u が（）、 n が であり、すべての x, y ∈ [0, 1] に対して次が成り立つ： u(x,y) = n( i( n(x), n(y) ) ) （一般化ド・モルガン関係）Ismat Beg, Samina Ashraf: Similarity measures for fuzzy sets, at: Applied and Computational Mathematics, March 2009, available on Research Gate since November 23rd, 2016。これが以下に詳述する公理を導く。

ファジィ補集合 μA(x) は x が A に属する程度を表す。A の型 c のファジィ補集合を ∁A と表す。このとき μ∁A(x) は x が ∁A に属する程度、すなわち x が A に属さない程度を表す（μA(x) は x が ∁A に属さない程度となる）。補集合 ∁A を関数 c : [0,1] → [0,1] で定義する： 任意の x ∈ U に対して：μ∁A(x) = c(μA(x))

ファジィ補集合の公理 公理 c1. 境界条件 c(0) = 1 かつ c(1) = 0 公理 c2. 単調性 任意の a, b ∈ [0, 1] について、a < b ならば c(a) > c(b) 公理 c3. 連続性 c は連続関数である。 公理 c4. 対合 c は対合である、すなわち各 a ∈ [0,1] に対して c(c(a)) = a が成立する。 c は強否定子（、別名ファジィ補集合）である。

公理 c1 と c3 を満たす関数 c は、c(a*) = a* を満たす不動点 a* を少なくとも1つ持つ。公理 c2 も満たせば不動点はただ1つとなる。標準否定子 c(x) = 1 − x の場合、唯一の不動点は a* = 0.5 であるGünther Rudolph: Computational Intelligence (PPS), TU Dortmund, Algorithm Engineering LS11, Winter Term 2009/10. Note that this power point sheet may have some problems with special character rendering。

ファジィ積集合

2つのファジィ集合 A と B の積集合は、単位区間上の二項演算、すなわち次の形の関数によって一般的に規定される： i:[0,1]×[0,1] → [0,1]. 任意の x ∈ U に対して：μA ∩ B(x) = i[μA(x), μB(x)].

ファジィ積集合の公理 公理 i1. 境界条件 i(a, 1) = a 公理 i2. 単調性 b ≤ d ならば i(a, b) ≤ i(a, d) 公理 i3. 可換性 i(a, b) = i(b, a) 公理 i4. 結合性 i(a, i(b, d)) = i(i(a, b), d) 公理 i5. 連続性 i は連続関数である。 公理 i6. 劣冪等性 0 < a < 1 のすべての a について i(a, a) < a 公理 i7. 狭義単調性 a1 < a2 かつ b1 < b2 ならば i(a1, b1) < i(a2, b2) 公理 i1 から i4 がt-ノルム（、別名ファジィ積集合）を定義する。標準 t-ノルム min は唯一の冪等 t-ノルムである（すなわち、すべての a ∈ [0,1] について i(a, a) = a）。

ファジィ和集合 2つのファジィ集合 A と B の和集合は、単位区間上の二項演算、すなわち次の形の関数によって一般的に規定される： u:[0,1]×[0,1] → [0,1]. 任意の x ∈ U に対して：μA ∪ B(x) = u[μA(x), μB(x)].

ファジィ和集合の公理 公理 u1. 境界条件 u(a, 0) = u(0, a) = a 公理 u2. 単調性 b ≤ d ならば u(a, b) ≤ u(a, d) 公理 u3. 可換性 u(a, b) = u(b, a) 公理 u4. 結合性 u(a, u(b, d)) = u(u(a, b), d) 公理 u5. 連続性 u は連続関数である。 公理 u6. 超冪等性 0 < a < 1 のすべての a について u(a, a) > a 公理 u7. 狭義単調性 a1 < a2 かつ b1 < b2 ならば u(a1, b1) < u(a2, b2) 公理 u1 から u4 がt-コノルム（、s-ノルムまたはファジィ和集合ともいう）を定義する。標準 t-コノルム max は唯一の冪等 t-コノルムである（すなわち、すべての a ∈ [0,1] について u(a, a) = a）。

集約演算 ファジィ集合上の集約演算は、複数のファジィ集合を所望の方法で組み合わせて1つのファジィ集合を生成する演算である。 n 個のファジィ集合（2 ≤ n）上の集約演算は次の関数で定義される： h:[0,1]n → [0,1]

集約演算の公理 公理 h1. 境界条件 h(0, 0, ..., 0) = 0 かつ h(1, 1, ..., 1) = 1 公理 h2. 単調性 各 i ∈ Nn について ai, bi ∈ [0,1] を満たす任意の n 組 <a1, a2, ..., an> と <b1, b2, ..., bn> について、すべての i で ai ≤ bi ならば h(a1, a2, ...,an) ≤ h(b1, b2, ..., bn)、すなわち h はすべての引数について単調増加である。 公理 h3. 連続性 h は連続関数である。

関連項目 ファジィ論理 ファジィ集合

参考文献

L.A. Zadeh. Fuzzy sets. Information and Control, 8:338–353, 1965

関連文献