Inversa funktionssatsen är en matematisk sats inom differentialkalkyl. Satsen ger tillräckliga villkor för att en funktion ska vara inverterbar i en omgivning till en given punkt och en formel för beräkning av derivatan av den inversa funktionen.
Inversa funktionssatsen Envariabelanalys Om f är kontinuerligt deriverbar med nollskild derivata i punkten a så är f inverterbar i en omgivning till a. Om kan derivatan av beräknas i punkten b genom:
Flervariabelanalys Låt vara en kontinuerligt deriverbar avbildning. Om är en punkt så att Jacobideterminanten är nollskilld i
så finns det omgivningar U och V kring respektive så att avbildningen är bijektiv och inversen är kontinuerligt deriverbar.
Om så kan Jacobimatrisen till kan beräknas med
Bevis Det finns många bevis för inversa funktionssatsen. Det enklaste bygger på satsen om största och minsta värde. Ett generellare bevis bygger på Banachs fixpunktssats, som även kan användas till att bevisa en generalisering av satsen som gäller i oändlighetsdimensionella vektorrum.
Exempel Betrakta definierad av
Jacobimatrisen blir
så att determinaten är
Då är nollskild för alla reella x ger inversa funktionssatsen att varje har en omgivning där funktionen är inverterbar.
Se även Implicita funktionssatsen
Referenser
Kategori:Differentialkalkyl Kategori:Satser inom reell analys Kategori:Inversa funktioner Kategori:Differentialtopologi