Hamiltons virkningsprinsipp gir en mer generell formulering av de fundamentale lovene i klassisk mekanikk enn den som ble innført av Isaac Newton. Det ble utviklet av den irske fysiker og matematiker William Rowan Hamilton rundt 1840 da han fant en ny definisjon av virkningen til et system basert på dets Lagrange-funksjon. Prinsippet sier at denne virkningen skal være minimal, og det er derfor tett knyttet opp mot variasjonsregning.
Ofte blir det omtalt som prinsippet om minste virkning selv om dette navnet i noen tilfeller kan være misvisende da den klassiske bevegelsen kan tilsvare en maksimal verdi av virkningen. Mer korrekt er å si at virkningen skal ha en ekstremalverdi som kan være et minimum eller et maksimum. Det er ekvivalent med å si at den skal være stasjonær. Prinsippet er en videreføring av Maupertuis' virkningsprinsipp som ble innført hundre år tidligere for mekaniske systemer. Dets store fordel kommer mest tydelig frem i beskrivelsen av kontinuumsmekanikk og i feltteorier.
Euler-Lagrange-ligningene som følger fra Hamiltons prinsipp, er differensialligninger av andre orden med hensyn på tiden. De sier noe om hvordan systemets energi fordeler seg mellom å være kinetisk T og potensiell V energi. Mens den totale energien for systemet er E = T + V, viste Hamilton at differensen L = T - V definerer en ny virkningen for systemets bevegelse. Den avhenger av variable som posisjon og hastighet og er Lagrange-funksjonen for systemet. For hvert tidspunkt t antar denne funksjonen en viss verdi avhengig av hvor systemet befinner seg og hvor raskt det forandrer seg. Beveger systemet seg fra et punkt A til et punkt B, er virkningen for bevegelsen gitt ved integralet
Vet man ikke nøyaktig hvordan systemet beveger seg, kan man beregne virkningen for hver tenkelig bevegelse. Av alle slike tenkelige bevegelser, velger så systemet den banen som vanligvis har den minste virkningen. Alltid skal virkningen ha en ekstremalverdi for den klassiske bevegelsen. Dette uttrykkes matematisk ved at variasjonen
Dermed er virkningen S stasjonær for små variasjoner rundt denne banen.
En dypere forståelse av dette virkningsprinsippet i klassisk fysikk kom først med formuleringen til Richard Feynman av kvantemekanikken. Denne er basert på veiintegral som er bygd opp av virkningene for hver tenkelig bevegelse. Hva som er alternative, matematiske bevegelser i den klassiske beskrivelsen går over til å bli virkelige, fysiske bevegelser i den kvantemekaniske beskrivelsen.
Hamilton viste også at Euler-Lagrange-ligningene kan erstattes med det dobbelte antall første ordens differensialligninger. Disse er basert på Hamilton-funksjonen som er definert ved H = T + V. Dette er energien for systemet slik at H også kan kalles for energifunksjonen. Denne formuleringen av klassisk mekanikk kalles Hamilton-mekanikk og danner grunnlaget for kvantemekanikken. Sammen med den ekvivalente Lagrange-mekanikken inngår Hamilton-mekanikken i det som vanligvis omtales som analytisk mekanikk.
Lagrange-mekanikk har en stor fordel fremfor Hamilton-mekanikk. Det er at den automatisk kan formuleres i overensstemmelse med Einsteins relativitetsteori og derfor også kan beskrive relativistiske systemer. Den kan også brukes til beskrivelse av kontinuerlige systemer hvor Lagrange-funksjonen er gitt som et volumintegral over en Lagrange-tetthet. Moderne kvantefeltteorier formuleres alle på denne måten.
Euler-Lagrange-likningen
thumb|right|300px|En liten variasjon δq av koordinaten q(t) tas med konstant tid t.
I det enkleste tilfellet kan det mekaniske systemet vi betrakter, beskrives ved bare en koordinat q = q(t). Det kan for eksempel være en partikkel med masse m hvor q angir dens posisjon. Den kinetiske energien er da
hvor = dq/dt, mens den potensielle energien er gitt ved en funksjon V = V(q). Man kan også tenke seg at dette potensialet varierer med tiden slik at man mer generelt har at V = V(q,t). Lagrange-funksjonen for systemet er nå
For mer kompliserte situasjoner er det ikke mulig å splitte Lagrange-funksjonen slik opp i en kinetisk og en potensiell del. Hvordan Lagrange-funksjonen da ser ut, kan bli en mer vanskelig oppgave å finne ut av.H. Goldstine: A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century, Springer, New York (1980). ISBN 1-4613-8106-8.
For å beregne bevegelsen fra et punkt A = (tA , qA) til et punkt B = (tB , qB) fra Hamiltons virkningsprinsipp må man bestemme en stasjonær verdi for virkningen
Integralet er en funksjon av funksjonen q(t) og er derfor en funksjonal som angis ved firkantparentesen S[q].
Det gjøres systematisk ved variasjonsregning hvor man betrakter en liten variasjonen q(t) → q(t) + δq av banen som vist i figuren. Variasjonen av virkningen blir dermed
når man ser bort fra høyere ordens ledd. I siste ledd i integranden kan man nå foreta en partiell integrasjon som gir
Da alle baner skal gå gjennom endepunktene A og B, må variasjonen δq oppfylle kravene δq(tA) = δq(tB) = 0. Randleddet forsvinner derfor, og firkantparentesen i det første integralet må være null for at δS = 0. Dette gir Euler-Lagrange-ligningen
Den er den samme for alle systemer. Men Lagrange-funksjonen L vil være forskjellig fra system til system.L. N. Hand and J. D. Finch, Analytical Mechanics, Cambridge University Press, England (1998). ISBN 0-5215-7572-9
Hvis Lagrange-funksjonen får et ekstra tillegg L → L + dG/dt som er en totalderivert med hensyn på tiden, vil det gi opphav til et ekstra bidrag
til variasjonen av virkningen. Men dette er null da variasjonene δq(tA) og δq(tB) begge er null i randpunktene. Euler-Lagrange-ligningen forblir derfor uforandret. Legg merke til at dette holder kun når funksjonen G(q,t) er uavhengig av den tidsderiverte av q(t).
Bevegelseskonstanter
Et generelt system er beskrevet ved N generelle koordinater q = (q1, q2, ... , qN). Disse behøver ikke å være komponenter av forskjellige posisjonsvektorer, men kan for eksempel oppstå ved bruk av ikke-kartesiske koordinatsystem. Begynnelsespunkt A og sluttpunkt B for bevegelsen er da begge angitt ved N slike koordinater. Virkningen må nå være stasjonær under variasjon q n(t) → q n(t) + δq n(t) av alle disse koordinatene. Dermed får man en Euler-Lagrange-ligning for hver slik dynamisk variabel,
Det siste leddet i denne ligningen inneholder den tidsderiverte av hva som kalles den konjugerte impuls p n til koordinaten q n, det vil si at
Hvis Lagrange-funksjonen av en eller annen grunn ikke inneholder en koordinat q k slik at ∂ L/∂ qk = 0, så betyr det at dpk/dt = 0. Den tilhørende, konjugerte impuls er derfor uavhengig av tiden og dermed er
en bevegelseskonstant. Den tilsvarende variabel sies å være syklisk. Det kan i prinsippet være flere av dem, og de kan være til stor hjelp ved løsningen av Euler-Lagrange-ligningene for de andre koordinatene.
Fra den generelle variasjonsregningen vet man også at når tiden t ikke eksplisitt opptrer i Lagrange-funksjonen, vil størrelsen
være en bevegelseskonstant. Derfor er H = E en konstant når ∂ L/∂ t = 0. Denne bevegelseskonstanten er ikke noe annet enn energien for systemet. Uttrykker vi hastigheten ved den tilsvarende, konjugerte impulsen p n, blir da H = H(q,p) Hamilton-funksjonen for systemet.
Virkningsfunksjonen
Euler-Lagrange-ligningen for en ikke-relativistisk partikkel med masse m som beveger seg fritt i en dimensjon, er . Ligningen sier altså at den har konstant hastighet. Beveger den seg fra punkt A til B, er denne = (qB - qA)/(tB - tA). Dette er hastigheten partikkelen har i klassisk mekanikk i motsetning til i kvantemekanikken. Man sier at det er dens klassiske hastighet. Virkningen for den klassiske bevegelsen er derfor
Normalt er den en funksjon av tre variable ta de to tidspunktene vil opptre sammen i differensen tB - tA . Hamilton kalte denne klassiske virkningen for den prinsipale funksjonen.H. Goldstein, Classical Mechanics, Addidon-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1959).
Denne funksjonen har to interessante og viktige egenskaper. Tar man den deriverte med hensyn på en av koordinatene, finner man impulsen til partikkelen på samme sted,
Den deriverte med hensyn på tiden gir tilsvarende
som er energien til partikkelen, med motsatt fortegn. Selv om dette eksempelet er så enkelt at det ikke en gang er noen forskjell mellom Lagrange- og Hamilton-funksjonene, er de to resultatene for de deriverte av den klassiske virkningen eksempler på mer generelt gyldige egenskaper ved virkningsfunksjonen.
For å vise det, kan man betrakte to nærliggende klassiske baner q(t) og q'(t) = q(t) + δq(t) som begge starter i punktet A, men med litt forskjellig endepunkt B.
Hvis bevegelsene langs de to banene tar samme tid, men ankommer på litt forskjellig steder separert med δqB, vil de dermed ha litt forskjellig virkning
som utledes direkte som ved variasjonsregningen over. Det første leddet er null da begge banene er klassiske og oppfyller Euler-Lagrange-ligningen. I det siste leddet er den partiellderiverte gitt ved impulsen pB i sluttpunktet B. Resultatet δScl = pB δqB betyr at
Denne utledningen kan lett utvides til å gi et tilsvarende resultat for begynnelsepunktet A .
Alternativt kan man tenke seg at de to klassiske banene har samme endepunkt pB , men at q'(t) ankommer dette punktet δtB senere sammenlignet med q(t). Forskjellen i virkning δScl for disse to bevegelsene får da et bidrag før tiden tB av samme type pB δqB som beregnet over da de to banene ved dette tidspunktet ennå ikke er i samme punkt. For den korte tiden δtB etterpå oppstår ganske enkelt bidraget LB δtB. Her er LB verdien av Lagrange-funksjonen i sluttpunktet B. Tilsammen er dermed
I første leddet kan man skrive δqB = - δtB. Derfor er
da man finner kombinasjonen av variable pB - LB = HB som er Hamilton-funksjonen i sluttpunktet B.
Disse to generelle resultatene for de deriverte av virkningsfunksjonen spiller en sentral rolle i Hamiltons alternative formulering av Lagrange-mekanikken som naturligvis kalles Hamilton-mekanikk.
Ikke-relativistisk partikkel
La oss betrakte en ikke-relativistisk partikkel med masse m som beveger seg i tre dimensjoner hvor dens posisjon i et kartesisk koordinatsystem er angitt ved posisjonsvektoren r. Den påvirkes av et ytre potensial slik at den har en potensiell energi gitt ved en funksjon V = V(r). Partikkelens bevegelse kan nå beregnes fra Lagrange-funksjonen
Den har en kanonisk impuls
slik at Euler-Lagrange-ligningen blir
Dette er ikke noe annet enn Newtons andre lov da F = - ∇V er kraften som virker på partikkelen.
Potensialet V er antatt å være uavhengig av tiden. Derfor er partikkelens energi
konstant, H = E. Uttrykt ved impulsen p er dette Hamilton-funksjonen for dette systemet,
I kvantemekanikken danner denne grunnlaget for å skrive ned den tilsvarende Schrödinger-ligningen for partikkelens bevegelse.
Mer interessant er dette systemet når den potensielle energien V ikke avhenger av retningen til posisjonsvektoren r, men bare av dens lengde r = |r|. Da er , og systemet er symmetrisk under rotasjoner. De tilsvarende rotasjonsvinklene er derfor sykliske variable som gir opphav til at den konjugerte dreieimpulsen er konstant. En annen måte å forstå det på er at i dette tilfellet peker kraften på partikkelen i radiell retning slik at dreiemomentet r × F på den er null og lar derfor dreieimpulsen forbli konstant. Dette kan generaliseres til å gjelde for lignende situasjoner i andre system og går under navnet Noethers teorem.
Relativistisk partikkel
Fra den spesielle relativitetsteorien følger at Lagrange-funksjonen for en fri, relativistisk partikkel med masse m er
hvor c er lyshastigheten og v = dr/dt er partikkelens hastighet. Man kan nå beregne dens konjugerte impuls,
Kun i den ikke-relativistiske grensen v << c stemmer dette med det valige resulatet p = m v fra newtonsk mekanikk.L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Merchanics, Pergamon Press, London (1959).
Energien til partikkelen følger nå fra