上限（じょうげん、）および下限（かげん、）は、共に数学における順序集合に関する概念である。半順序集合 の部分集合 の下限は、 の要素であって の全ての要素よりも小さいか、または等しい要素のうち、(もしそのようなものが存在するならば)最大のものを指す。 もし の下限が存在するならば、それは一意であり、さらに任意の の下界よりも大きいか、その元に等しい。このため、下限のことを最大下界（さいだいかかい、）と呼ぶこともある。一方、半順序集合 の部分集合 の上限は、 の要素であって の全ての要素よりも大きいか、または等しい要素のうち、(もしそのようなものが存在するならば)最小のものを指す。下限と同様に、上限も存在するならば一意であり、さらに任意の の上界よりも大きいか、その元に等しい。このため、上限は最小上界（さいしょうじょうかい、）と呼ばれることがある。
上限と下限は、厳密な意味で互いが互いの概念である。実数の上限および下限という概念は解析学、特にルベーグ積分において重要な役割を果たす例である。しかし、任意の半順序集合を対象とした、より抽象的な順序論の枠組みにおいても、上限や下限の一般的な定義は依然として有効である。
上限や下限のコンセプトは最大と最小に近いものがあるが、最小値や最大値を持たない可能性のある特別な集合をより適切に特徴づけるからである点において、最大・最小よりも」解析学において有益である。例えば、正の実数からなる集合は最小値を持たない。なぜならば、正の実数の最小値を仮定しそれを としても、 がそれより小さい正の実数であることが容易に示され、したがって が最小値であることに矛盾するからである。一方、正の実数には下限が存在し、それは である。ある集合の下限や上限は、常にその集合の上位集合を基準としてのみ定義される。例えば、正の実数の中での正の実数の下限あるいは下界を考えると、正の実数の最小値と同様の議論により下界が存在しないことがわかるので、下限は存在しない。
厳密な定義
順序集合 における部分集合 の下界とは、 の元 であって次を満たすものをいう:
任意の に対し、 が成立する。
次の条件を満たす の下界 を、 の下限、または最大下界という:
の における任意の下界 に対して、 が成立する(すなわち、 は他のどの下界よりも大きいか、それに等しい)。
同様に、順序集合 における部分集合 の上界とは、 の元 であって次を満たすものをいう:
任意の に対し、 が成立する。
次の条件を満たす の上界 を、 の上限、または最小上界という:
の における任意の上界 に対して、 が成立する(すなわち、 は他のどの上界よりも大きいか、それに等しい)。
さらに、集合に限定することなく上界や下界を定義することもできる。例えば、すべての基数を含む集合は存在せず、最大の基数も存在ないものの、選択公理を認めれば、基数の集合にはすべて基数としての最小上界が存在することが示される。選択公理は、「空でないすべての基数集合には最小の要素(それはその集合の下限でもある)が存在する」という命題と同値である。基数の空集合には多くの下界が存在するが、基数の中で最大の下界は存在しない。
存在と一意性 上限や下限は必ずしも存在するとは限らない。 の上界が存在しない場合や、上界が存在してもその最小値が存在しない状況では、 の における上限は存在しない。具体的には、有理数からなる集合 の中での集合には上界として1.5などを取ることができるが、上限が存在するとしたらそれはの最小元に一致し、 が有理数ではないので、稠密性から最小限が存在しないことがわかる。
したがって、特定の下限が存在することが既知である半順序集合は特に興味深いものとなる。例えば、束論における束とは、空でない有限部分集合のすべてが上界と下界の両方を持つ半順序集合であり、完備束とは、すべての部分集合が上界と下界の両方を持つ半順序集合である。このような考察から導かれるさまざまな半順序集合のクラスに関する詳細についてはを参照せよ。
部分集合 の上限や下限は、もし存在するならば一意である。
最大元・最小元との関係 半順序集合 の部分集合 の下限が存在するとしたとき、それは必ずしも に含まれない。もし に含まれる場合、それは の最小の要素である。同様に、 の上限が存在して、さらに 自身に含まれていれば、それは の最大の要素でもある。
例として、実数全体の集合の部分集合としての正の実数を再び考える。この集合の最小値は存在しないものの、0および任意の負の実数がこの集合の下界であり、したがって最大下界は0である。
最大元・最小元を一般化した極大元や極小元はある集合に複数存在する可能性がある。 一方、上限や下限は存在すれば一意である。
最大元や最小元が存在する場合、それは考察している集合に含まれる。一方、上限や下限は存在していても、必ずしも集合に含まれるとは限らない。
極小上界 半順序集合には、(最小上界を持たない場合であっても)多くの極小上界が存在する場合がある。ここで、極小上界とは、それより厳密に小さい上界となる要素が存在しない上界のことである。これは、それぞれの極小上界が他のすべての上界よりも小さいことを意味するのではなく、単にそれより大きくないということである。「極小」と「最小」の区別は、与えられた順序が全順序でない場合にのみ可能となる。実数のような全順序集合においては、これらの概念は同じである。
例えば、 を「自然数からなる有限部分集合全て」を要素とする集合とし、「 の要素全ておよび整数全体の集合 」を要素とする集合、「 の要素全ておよび正の実数全体の集合 」を要素とする集合を考え、順序は内含関係で与えるとする。このとき、「 の要素全てと からなる集合」では、 が任意の他の要素( の構成要素)を内含しているので、 は の上界となっている。同様に、 も の上界である。しかしながら、 と は一方がもう一方の部分集合、というわけではない。よって、これらは両方とも の極小上界であるが、 の上限は存在していない。
上限性質
上限性質は、完備性に関する性質の一例であり、実数の集合において典型的なものである。
集合 の空ではない任意の部分集合であって上に有界なものが、上限も持つのであれば、 は上限性質をもつといわれる。上述したように、全ての実数の集合 はこの性質を持つ。 同様に、全ての整数からなる集合 もこの性質を持つ。整列集合は上限性質を持つ上に、空集合も上限を持つ例である。
上限性質をもたない集合の例として、有理数全体からなる集合 が挙げられる。 の部分集合 を、 で定義する。 は明らかに上界を持つ(例えば、1000は に含まれる全て有理数より大きい)が、 その上限は には存在しない; もし上限が有理数であるとし、それを とおくと、稠密性から と の間の有理数 を取ることができ、 ならば となって が最小の上界であることに矛盾し、 ならば となって の元であって よりも真に大きな元が存在することになり矛盾する。他にも、超実数もこの性質を持たない。正の無限小からなる集合には上限が存在しないからである。
対応する概念として、下限性質というものもある。順序集合が上限性質を持つとき、かつその場合に限り、その順序集合は下限性質も持つ。ある集合の下界の集合の最小上界は、その集合の最大下界であり、ある集合の上界の集合の最大上界は、その集合の最小上界であるからである。
ある半順序集合 のなかで、任意の有界な部分集合が上限を持つとする。任意の集合 と から への写像全てを含む空間において、 であるとは が任意の で成立することであると定義する。すると、この写像からなる集合も任意の有界な部分集合が上限を持つ。この性質は実数関数や、組の実数、さらに実数列などに応用される。
実数における上限と下限 として実数からなる集合の部分集合を考えることは、解析学では非常に重要である。例えば、正の実数は最小値を持たないものの、その下限は0であり、0は正の実数ではない。 実数の完備性の意味するところは、 を実数の部分集合であって空ではない有界集合としたとき、 が上限と下限を持つことであり、かつそのことと同値である。もし が下界を持たなければ、形式的に とすることがある。また、 が空であるならば、形式的に とすることがある。
性質 を任意の実数の部分集合とする。今、 が空ではない () ことと であることは同値であり、そうでなければ である。
包含関係 をそれぞれ任意の実数の部分集合とする。 であるならば、 ( の時 を意味する)かつ が成立する。
像 を実数から実数への広義単調増加関数とし、 を実数の部分集合であって有界かつ空ではないものとする。また、関数の像を で定義する。
すると、 および が成立する。
上限・下限の同定 実数の部分集合 の下限が存在するとする (すなわち、 が実数であるとする)。 ある実数 が の下界であり、かつ、任意の に対してある に対して が成立するならば、 が成立し、かつ であるのはその時に限る。
同様に、 が実数であり、 の上界 について任意の に対してある が存在して を満たすとは、 であることと同値である。
数列の極限との関係 実数の部分集合 に対し、非減少数列 であって、全ての要素が に含まれ、かつ を満たすものが常に存在する。同様に、非増加数列 であって、全ての要素が に含まれ、かつ を満たすものが常に存在する。
特に、上限や下限が実数である場合は、それらは の 閉包 に含まれる: ならば であり、また ならば である。
このように、上限や下限を数列の極限として表すことで、数学のさまざまな分野の定理を適用することが可能になる。
例として、 を連続写像とし、 を の定義域における点列であるとしたとき、 が に収束するならば は に収束する、という位相幾何学の定理を考えよう。 が連続関数 の定義域の部分集合であるとし、 が全て に含まれ、かつ も実数であるとする。この時、定理から
が従う。これを用いれば、例えば、 が集合 のであることが保証される( が 上の数列であって に収束するので、 は の閉包に含まれる)。 これまでの仮定に加えてさらに が非減少関数である場合は、 であることも示すことができる。
これまでの議論は上限について焦点を当ててきたが、同様の帰結は下限についても与えることができる。
集合に対する算術演算 以下の式は、集合上の算術演算を一般化した表記法に基づく。 を実数からなる集合とする。
集合の和 2つの実数からなる集合 のは
で定義される。さらに、 であれば、
かつ
である。
集合の積 ミンコフスキー和と同様に、集合同士の積を
と定義する。もし、 がともに正の実数の空でない部分集合であれば、 かつ である。
乗法の逆集合 実数 と実数の部分集合 の積を
で与える。 ならば
である一方、 ならば
である。さらに、 かつ ならば
である。特に、 かつ の記法を用いて
である。
を含まない集合 に対して
とする。 が空でなければ
が成立する。もし拡大実数の演算 を用いるのであれば、 の時にも上の式は成り立つ。 同じ等式は
と記述されることもある。さらに、 となるのは の時に限られる。もし ならば、 も実数であるからである。
双対 で、反順序集合 の反対順序を表すとする。すなわち、もし任意の に対して
とする。この時、 の部分集合としての の下限と の部分集合としての の上限は一致し、上限と下限を入れ替えた主張も成立する。
実数の部分集合に対しては、 も成立する。ここで、 である。
具体例
下限
集合が最小元を持つのであれば、その最小元、すなわち集合の最小値が下限に一致する。
数列 が単調減少列であり、かつ に収束するのであれば、
上限
下限と同様に、集合が最大元を持つのであれば、その最大元、すなわち集合の最大値が上限となる。
この例では、有理数の集合の上限が無理数となっている。これは有理数は完備ではないことの表れである。 上限に関する基本的な性質として、 が任意の関数 に対して成立する。
で、 が の約数であることを表すとする。順序集合 の部分集合 の上界は の全ての元を約数にもつ自然数である。よって、この集合の上限は の全ての元の最小公倍数である。 関連項目
本質的上限と本質的下限 最大と最小 上極限と下極限 極大元と極小元 上界と下界
参考文献
外部リンク