サムネイル|第二次世界大戦中、ドイツ軍の戦車の生産量は連合国の諜報機関によって統計的に推定されていた。 ドイツ戦車問題（ドイツせんしゃもんだい、）はにおける問題の一種。離散一様分布からの非復元抽出の結果だけから母集団のサイズを推定する問題を指す。文章題で表すなら、次のようになる:「敵軍は戦車を 台製造しており、それぞれに のシリアル番号が振られている。このうちの 台を無作為抽出により鹵獲し、そのシリアル番号を調べた。この調査結果から、 を推定せよ。」
この問題は頻度主義統計学でもベイズ統計学でも扱えるが、それぞれで結果が異なる。1回の観測から得られる の推定結果は非常に広い不定性を持つ一方、複数の観測を基にした推定は実用的であり、その推定結果は(特に頻度主義統計で)単純だが(特にベイズ統計で)自明ではない。
「ドイツ戦車問題」という名前は、第二次世界大戦中に連合国がドイツの戦車の月間生産数を(非常に限られた情報から)推定する際にこの問題が出現したという史実に基づいている。これは、戦車の構成部品(車体、変速機、エンジン、車輪)に昇順のシリアル番号を割り当てて刻印するという製造慣行を利用したものである。
仮定 敵軍は一定数の戦車を生産し、それぞれに1から始まる連続する自然数のシリアル番号をつけたとする。また、戦車の製造年月日、使用履歴、または刻印されたシリアル番号にかかわらず、分析の対象となるシリアル番号の分布は、分析が実施される時点までは均一であるとする。
なお、シリアル番号の下限は現実的には不明であることが多いが、簡単のため一般的にこの側面は無視され、単に1から始まると仮定される。
具体例 サムネイル|観測された最大値 、観測回数 のもとでの母集団サイズ の推定結果。点線は頻度主義統計学によるUMVU推定の結果を、実線はベイズ推定による平均値をそれぞれ表す。また、色のついた領域はベイズ推定での1σ領域である。 本文中での例である の場合では、頻度主義統計での予測値は 74、ベイズ統計の平均値は88.5、標準偏差は50.22である。いずれの場合も予測値の最小値は60である。
SVGファイルでは、カーソルをグラフ上で動かすと情報が出現する。 この節では、4台の戦車が鹵獲され、それらのシリアル番号が19, 40, 42, 60であったとする。
頻度主義統計学ではこの問題のが定義でき、そのもとで
が推定される。一方、ベイズ推定では、十分大きい のもとでの 上の一様分布を事前確率とすると、事後分布の中央値として
と、頻度主義統計学の予測と遜色ない結果が得られる。一方、事後分布の平均値は
である。
歴史的背景 サムネイル|1943年、パンター戦車が前線部隊への輸送のために積載されている様子。 第二次世界大戦中、連合国はドイツの生産規模を把握するために継続的な努力を重ね、そのために主に2つの手法、すなわち従来型の情報収集と統計的推計を採用した。多くの場合、統計的分析は従来型の情報収集よりもはるかに精度を高めた。
ノルマンディー上陸作戦の直前に、ドイツ軍が多数のV号戦車パンターを投入しているという噂が流れていた。これが事実かどうかを確かめるため、連合国は生産されている戦車の台数を推定しようと試みた。そのために、彼らは鹵獲または破壊された戦車のシリアル番号を利用した。主に使用されたのは変速機番号であり、これらは2つの連続した番号列を形成していたためである。シャーシ番号やエンジン番号も使用されたが、それらの利用はより複雑であった。分析の照合には、その他さまざまな部品も用いられた。車輪についても同様の分析が行われ、それらは連続した番号（すなわち、1,2,3,...,N）が振られていることが確認された。
戦車の車輪の分析により、使用されていた車輪用鋳型の数が推定された。その後、英国の車輪メーカーとの協議を通じて、この数の鋳型から生産可能な車輪の数が推定され、その結果、毎月生産されていた戦車の台数が算出された。2両の戦車（各32個、計64個）の車輪を分析した結果、1944年2月の戦車生産台数は270両と推定され、これは従来の予想を大幅に上回る数値であった。
戦後確認されたドイツ軍の記録では、同月の生産数は276両であり、この統計的アプローチが従来の情報収集手法よりもはるかに正確であることが判明した。結果として、「ドイツ戦車問題」という言葉は、この種の統計分析を表す用語として定着した。
このシリアルナンバー分析の用途は、生産量の推計だけにとどまらなかった。これを利用して、工場の数、各工場の相対的な重要性、サプライチェーンの長さ（生産と使用の間のタイムラグに基づく）、生産量の変動、そしてゴムなどの資源の使用状況など、ドイツの生産体制全般を把握することも行われた。
具体的数値 連合軍の従来手法に基づく情報分析によれば、ドイツ軍は1940年6月から1942年9月にかけて、毎月約1,400両の戦車を生産していたとされる。しかし、鹵獲した戦車の製造番号に以下の計算式を適用したところ、その数は毎月246両であることが算出された。 戦後押収されたドイツの生産統計によると、実際の数は245であったことが判明した。
いくつかの月の推定結果を以下に示す: 年月統計学的推定値諜報活動による推定値ドイツ軍の記録1940年6月1691,0001221941年6月2441,5502711942年8月3271,550342
頻度主義統計学での解析
最小分散不偏推定量 母集団のサイズ の点推定 として が定義でき、以下の式で与えられる:
ここで、 は観測した戦車の数、 は観測されたシリアル番号の中での最大値である。
この推定値の分散は
である。したがって標準偏差もおおよそ であり、これはサンプル同士の平均的な間隔に一致する。
最小分散不偏推定量の式は、直感的には「標本最大値 に、標本内の観測値間の平均間隔を加えたもの」として理解できる。まず、特定の観測値の集合が与えられた場合、母集団の最大値が標本最大値であるときに、この集合が現れる確率が最も高くなることから、標本最大値が最尤推定量であり、これを初期推定量として選ぶ。一方、標本最大値は母集団の最大値を超えることは決してないが、それより小さくなる可能性があり、したがって母集団の最大値を過小評価する傾向がある。よって、母集団の最大値の推定量としての標本最大値が持つ負のバイアスを補正するために差分が加算される。
信頼区間 点推定の代わりまたは点推定に加えて、信頼区間をはじめとしたを行うこともできる。
簡単のため、このセクションでは復元抽出を考えるものとする。なお、これは本来の非復元抽出に対してやや保守的な区間を与える。
回の観測で得られた観測値が全て、全領域のうち だけの割合の領域に入っている確率は であるから、標本最大値 の 番目から 番目までの分位数は、区間 となる。これを逆算すると、母集団最大値に対する対応する信頼区間はとなる。
例えば、 となるような95%信頼区間は、 で与えられる。
簡単にわかる考察として、
サンプル数 が小さい時、信頼区間は非常に広い。これは推定そのものの不定性を反映している。 信頼区間は の増加に伴い急激に狭くなる。これは、全観測値がある区間に収まる確率は指数関数的に減衰することが反映されている。 は 未満となることがない一方で、いくらでも大きくすることができるため、信頼区間は正の偏りを示す。
なお、推定量の標準誤差の推定値として、 や を単純に用いることはできない。なぜなら、推定量の標準誤差は母集団の最大値に基づいており、その推定量自体の誤差を推定するために推定量を用いることは、循環論法にあたるからである。
ベイズ統計での解析 ベイズ統計によるドイツ戦車問題の解析では、サンプル最大値 , サンプル数 のもとでの母集団の最大値 に関する事後確率 を求める問題へと帰着する。ここで、 は 事象Bが生起した場合に事象Aが生起する条件付き確率を記述する。また、 は固定されているものとし、これに関する分布は考えないものとする。
解析結果は、 に関する事前分布の選択に依存し、例えばポアソン分布や負の二項分布などを利用できる。それらの場合は事後分布の平均値や分散の閉じた形が得られる。本項目では、事前分布として に関する一様分布を採用する。
母集団サイズが既知の場合に、サンプル最大値を得られる尤度 母集団サイズがわかっている場合、サンプル最大値が であるような確率は、他の サンプルが全て 以下になるように選択すればいいので、
となる。ここで、 は二項係数、 は アイバーソンの記法である。
母集団サイズの事前確率 に関しての事前分布として、離散一様分布
を採用する。ここで、一様分布の上界 は有限であれば事前確率分布として定義できる。そうでない場合、事前分布は「不適切」()となり、確率分布の公理を満たさなくなる:
母集団サイズの事後確率分布 のもとで、事後確率分布として
が得られる。 の場合はこの事後確率分布は のもとでも確率分布として振る舞う(の場合は調和級数の部分和が分母に来る形となり、これは発散する)。したがって、 のもとで の極限を取ると、規格化定数も含めて
が得られる。 これを用いて、累積分布関数は
と計算される。事後分布の最頻値は の値に関わらず となる。
平均値・分散 では、事後分布の平均値が有限値となる:
では、事後分布の分散も有限値となる:
これらの式の導出では、以下の で成立する畳み込み級数を利用する:
k=1の場合 の場合、の形が出現する:
この確率質量関数は調和級数の部分和を含んでいるため、 の極限では確率質量関数とならなくなる。よって、事後分布は一般に に依存する。調和数を用いれば、事後分布を
と表現できる。
の期待値は以下のようにして求められる:
k=2の場合 の場合は、 の極限でも事後確率が定義でき、その時の事後確率分布は
である。一方、この分布の平均値は無限大となる:
一方で、 の累積分布関数は
と比較的簡単に与えることができる。この形状から、この事後分布の中央値が
と求められる。
関連項目
標識再捕獲法
コペルニクスの原理 リンディ効果 極値分布 最尤推定 推定量の偏り 尤度関数
脚注