Helioksen karjan lukumääräArkhimedes 2025. eli Härkäongelma (, tai Problema Archimedis) on Arkhimedeen kirjoittama antiikin kreikkalainen aritmeettinen runo, joka pyytää lukijaa selvittämään Helioksen karjan lukumäärän annettujen ehtojen perusteella.Stén, Johan: ”Arkhimedeen tutkielmia: Helioksen karjan lukumäärä”. Teoksessa Arkhimedes 2025, s. 78–80.
Ongelmaa ei kyetty ratkaisemaan pitkään aikaan, osin siksi, että sen ratkaisu edellytti erittäin suurten lukujen käsittelyä. Tämä on tehnyt siitä yhden historian tunnetuimmista ja suuritöisimmistä matematiikan haasteista antiikin ajoilta. Yleisen ratkaisun ongelmaan löysi August Amthor vuonna 1880. Pienin mahdollinen ratkaisu, joka täyttää kaikki annetut ehdot, on noin nautaa.
Historia
Arkhimedes eli ja kirjoitti hellenistisellä kaudella 200-luvulla eaa. Helioksen karjan lukumäärä laitetaan yleensä Arkhimedeen nimiin, mutta ei ole täysin varmaa, että hän on sen kirjoittaja.Korhonen, Tua: ”Johdanto”. Teoksessa Arkhimedes 2025, s. 181–183. Runo on sen alussa olevan omisteen mukaan ”Ongelma, jonka Arkhimedes kehitti epigrammimuodossa ja lähetti kirjeessä Eratosthenes Kyreneläiselle ilmoittaen siitä siten niille, jotka pohtivat näitä asioita Aleksandriassa”.Arkhimedes: Helioksen karjan lukumäärä, omiste. Teoksessa Arkhimedes 2025, s. 183. Teos tunnettiin alun perin tämän otsakkeen ensimmäisen sanan mukaan yksinkertaisesti nimellä Problēma (), ”Ongelma”. Myöhemmin se sai nimen Bo(e)ikon problēma (), kirjaimellisesti ”Nautaongelma” tai ”Karjaongelma”.
Runon löysi saksalainen kirjailija ja klassillinen filologi Gotthold Ephraim Lessing, joka nimitettiin vuonna 1769 Wolfenbütteliin Herzog Augustin kirjaston eli Bibliotheca Augustan kirjastonhoitajaksi. Kirjastossa oli paljon kreikan- ja latinankielisiä käsikirjoituksia, ja Helioksen karjan lukumäärä löytyi niiden joukosta. Lessing julkaisi vuonna 1773 kommentaareilla varustetut käännökset eräistä kirjaston käsikirjoituksista, mukaan lukien Helioksen karjan lukumäärä. Myöhemmin runon teksti on löydetty myös kahdesta muusta käsikirjoituksesta.
Runo on suomennettu osana kokoelmaa Kelluvat kappaleet ja muita kirjoituksia (2025).
Sisältö
Runo on kirjoitettu epigrammimuodossa ja käsittää omisteen lisäksi 44 säettä. Aiheeltaan runo viittaa kreikkalaisesta mytologiasta ja erityisesti Homeroksen Odysseiasta tunnettuun auringonjumala Helioksen karjaan, joka laidunsi Thrinakian saarella.
Ongelma
Arkhimedes asettaa ongelman seuraavasti: Helioksen karja oli jaettu neljään laumaan väreittäin: valkoiset, mustat, keltaiset ja laikukkaat. Jokaisessa laumassa oli sekä härkiä että lehmiä, ja eläinten lukumäärät noudattivat tiettyjä matemaattisia suhteita. Valkoisten härkien määrä oli yhtä suuri kuin puolet ja kolmasosa mustista häristä lisättynä keltaisten härkien määrällä. Mustia härkiä oli neljäsosa ja viidesosa laikukkaiden härkien määrästä lisättynä keltaisten härkien määrällä. Laikukkaiden härkien lukumäärä oli kuudesosa ja seitsemäsosa valkoisista häristä lisättynä jälleen keltaisten härkien määrällä.Arkhimedes: Helioksen karjan lukumäärä 1–44.
Lehmien määrät oli määritelty seuraavasti: valkoisia lehmiä oli kolmasosa ja neljäsosa mustien nautojen (eli sekä härkien että lehmien) kokonaismäärästä. Mustien lehmien määrä oli taas neljäsosa ja viidesosa laikukkaiden nautojen kokonaismäärästä. Laikukkaiden lehmien määrä oli yhtä suuri kuin viidesosa ja kuudesosa keltaisten nautojen kokonaismäärästä. Lopuksi, keltaisia lehmiä oli kuudesosa ja seitsemäsosa valkoisten nautojen kokonaismäärästä.
Arkhimedes lisäsi ongelmaan vielä kaksi lisäehtoa, jotka tekevät siitä huomattavasti vaikeamman. Ensimmäinen ehto vaatii, että valkoisten ja mustien härkien yhteenlaskettu määrä muodostaa neliöluvun: eläimet voidaan siis asettaa neliömuodostelmaan, jossa rivejä ja sarakkeita on yhtä monta. Toinen ehto määrää, että laikukkaiden ja keltaisten härkien yhteenlaskettu määrä on kolmioluku — luku, joka voidaan esittää tasasivuisen kolmion muotoisena pistemääränä.
Skholion
Runon käsikirjoitusten lopussa on skholion eli skolia, joka on peräisin tekstin joltakin kopioitsija-kommentaattorilta. Se sisältää ongelman ratkaisuehdotuksen, joka on kuitenkin virheellinen ja saatu nautojen lukumäärä selvästi liian pieni.
Ratkaisu
Ongelma johtaa diofanttiseen yhtälöryhmään, jonka ratkaiseminen vaatii Pellin yhtälön tuntemista. Ensimmäisen osan ratkaisu on mahdollinen yksinkertaisin suhtein, mutta toisen osan lisäehdot tekevät siitä eksponentiaalisesti vaikeamman.
Ensimmäinen osa Pienin ratkaisu
Ensimmäinen osa ongelmasta on helposti ratkaistavissa muodostamalla yhtälöryhmä. Jos valkoisten, mustien, laikukkaiden ja keltaisten härkien lukumäärät merkitään kirjaimilla ja , ja valkoisten, mustien, laikukkaiden ja keltaisten lehmien lukumäärät kirjaimilla ja , ongelma on yksinkertaisesti löytää ratkaisu seuraavaan:
Kyseessä on seitsemän yhtälön ryhmä, jossa on kahdeksan tuntematonta. Näin se on alimäärätty ja sillä on äärettömän monta ratkaisua. Pienimmät positiiviset kokonaisluvut, jotka täyttävät kaikki seitsemän yhtälöä, ovat:
mikä tekee karjan kokonaismääräksi
nautaa. Muut ratkaisut ovat näiden kokonaislukukertoja. Huomionarvoista on, että kun otetaan alkuluku , niin ensimmäiset neljä lukua ovat tämän :n monikertoja, ja sekä että esiintyvät toistuvasti myöhemmin.
Yleinen ratkaisu
Kun kolme ensimmäistä yhtälöä muotoillaan sopivasti ja murtoluvut poistetaan, saadaan seuraava yhtälöryhmä:
{| style="text-align:right"
Kolme yhtälöä neljällä tuntemattomalla ja muodostavat normaalisti alimäärätyn järjestelmän, jolla on äärettömän monta ratkaisua. Yksi tuntemattomista voidaan valita vapaasti. Oletetaan tässä, että tuntematon on tunnettu, jolloin saadaan seuraavat ratkaisut:
{| style="text-align:right"
Koska lukujen ja täytyy olla kokonaislukuja (onhan kyse nautojen lukumäärästä), myös täytyy olla kokonaisluku. Siis täytyy olla luvun monikerta. Olkoon siis , missä . Tällöin saadaan:
{| style="text-align:right"
Kun otetaan tarkasteluun myös neljä muuta yhtälöä, poistetaan murtoluvut ja muotoillaan sopivasti, saadaan seuraava yhtälöryhmä:
{| style="text-align:right"
Jos nyt sijoitetaan ensimmäisestä yhtälöryhmästä saadut arvot , saadaan:
{| style="text-align:right"
Koska voidaan valita vapaasti, kyseessä on yksikäsitteisesti ratkaistava yhtälöryhmä neljällä yhtälöllä ja neljällä tuntemattomalla ja . Saadaan seuraavat ratkaisut:
{| style="text-align:right"
Koska myös lukujen ja täytyy olla kokonaislukuja, täytyy olla kokonaisluku. Siis täytyy olla luvun monikerta. Olkoon siis , missä . Tällöin saadaan seuraavat ratkaisut:
{| style="text-align:right"
Näin ollen Arkhimedeen karjaongelman ensimmäinen ja helpompi osa (ilman kahta lisäehtoa) saa seuraavan yleisen ratkaisun (missä voidaan valita vapaasti):
Koko karjan kokonaismäärä on siis
Toinen osa
Ongelman toinen osa toteaa, että on neliöluku ja on kolmioluku.
Pienin ratkaisu
Se, että tulee olla neliöluku, voidaan ilmaista
Kun tähän yhtälöön sijoitetaan välitulokset ja , saadaan
joka on alkutekijöihin hajotettuna sama kuin
Jotta vasen puoli olisi täydellinen neliö, täytyy päteä
missä on kokonaisluku.
Seuraavaksi se, että tulee olla kolmioluku, voidaan ilmaista:
Kun määritellään, että , eli , voidaan tämä kirjoittaa myös muodossa
tai
Koska on kokonaisluku, on selvästi pariton.
Kun summaan sijoitetaan välitulokset ja , ja koska , saadaan:
Kun tämä sijoitetaan yllä saatuun yhtälöön, saadaan :n ja :n välinen yhteys:
Koska , muodostuu seuraava Pellin yhtälö:
Kun huomioidaan hajotelma , voidaan muodostaa helpommin ratkaistava Pellin yhtälö:
Tällä Pellin yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua, koska ei ole neliöluku.
Se ratkaistaan käyttämällä :n jatkuvan murtoluvun kehitelmää, jonka jakso on pituudeltaan 92 ja kokonaispituus 93. Se kuuluu:
Yllä olevan Pellin yhtälön pienin ratkaisu on:
Tästä saadaan:
eli se ei ole kokonaisluku. Näin ollen tämä pienin ratkaisu ei vielä ole etsimämme härkäongelman ratkaisu. Etsitty täytyy olla sellaisen pienimmän mahdollisen :n tekijä, jolla on tekijänä.
Kun pienin ratkaisu on saatu, voidaan käyttää seuraavia Pellin yhtälön iterointikaavoja, jotta saadaan kaikki myöhemmät ratkaisut:
Ensimmäisellä iteraatiolla saadaan:
Tämä ei myöskään ole jaollinen luvulla .
Seuraavallakaan iteraatiolla
ei saada haluttua jaollisuutta: ei ole jaollinen luvulla .
Vasta iteraation jälkeen saadaan seuraava haluttu pienin ratkaisu:
Tästä saadaan:
Nyt voidaan myös laskea
ja sijoittaa se aiempiin lausekkeisiin ja :
Koko karjan yhteenlaskettu määrä on siis
Toisella tavalla ilmaistuna, nautojen lukumäärä on
(välissä kolmen numeron ryhmää)
Valkoiset härät, joita on kappaletta, ja mustat härät, joita on kappaletta, voidaan järjestää neliön muotoon siten, että jokaisella neliön sivulla seisoo härkää.
Laikukkaat härät, joita on kappaletta, ja keltaiset härät, joita on kappaletta, voidaan järjestää kolmion muotoon siten, että jokaisella kolmion sivulla seisoo härkää.
Yleinen ratkaisu (Lenstra)
Ongelman toisen osan yleisratkaisun löysi ensimmäisenä A. Amthor vuonna 1880. Seuraavan version ratkaisusta esitti H. W. Lenstra, ja se perustuu Pellin yhtälöön: edellä annetun ensimmäisen osan ratkaisu tulee kertoa kertoimella
missä on mikä tahansa positiivinen kokonaisluku, ja
Pienimmän mahdollisen karjan, joka täyttää sekä ongelman ensimmäisen että toisen osan ehdot, koko saadaan, kun , ja se on sama kuin edellä laskettu pienin ratkaisu.
Nykyaikaiset tietokoneet pystyvät helposti tulostamaan ratkaisun kaikki numerot. Tämä tehtiin ensimmäisen kerran Waterloon yliopistossa vuonna 1965 Hugh C. Williamsin, R. A. Germanin ja Charles Robert Zarnken toimesta. He käyttivät yhdistelmää IBM 7040 ja IBM 1620 -tietokoneista.
Lähteet
Kirjallisuutta Suomennos
Arkhimedes: Helioksen karjan lukumäärä. Suomennos Tua Korhonen. Teoksessa
Muita käännöksiä ja tekstilaitoksia
Archimedes: The Cattle-Problem. Teoksessa Archimedes: ”Indeterminate Analysis: The Cattle Problem”. Teoksessa
Muuta kirjallisuutta
Aiheesta muualla
Αρχιμήδης: Πρόβλημα βοεικόν. Wikisource.
Luokka:Arkhimedeen teokset