Hiekanlaskija (, ) on Arkhimedeen kirjoittama antiikin kreikkalainen matemaattinen teos. Sen tarkoituksena on osoittaa, että on mahdollista matemaattisesti ilmaista ja laskea jopa sellaisten käsittämättömän suurten asioiden lukumäärä kuin maailmankaikkeuteen mahtuvien hiekanjyvien määrä.Stén, Johan: ”Johdanto”. Teoksessa Arkhimedes 2025, s. 42, 45, 75–78.

Arkhimedes käytti laskelmissaan Aristarkhos Samoslaisen aurinkokeskistä maailmankuvaa, jonka mukaan Maa kiertää Aurinkoa ja tähdet ovat hyvin kaukana. Hän esittelee oman menetelmänsä Auringon näennäisen halkaisijan ja silmän pupillin koon määrittämiseksi. Näiden pohjalta hän olettaa, että maailmankaikkeuden halkaisija on enintään 100 biljoonaa stadionia, ja että halkaisijaltaan yhden daktyloksen kokoiseen palloon mahtuu enintään 640 miljoonaa hiekanjyvää. Ottaen stadionin pyöristetysti enintään myriadiksi () eli kymmeneksituhanneksi daktylokseksi, hän osoittaa, että maailmankaikkeuteen mahtuu enintään 1063 hiekanjyvää.Arkhimedes: Hiekanlaskija 1–4.

Tavallinen kreikkalainen lukujärjestelmä ei riittänyt kuvaamaan näin suuria lukuja. Arkhimedes loi teoksessaan uuden tavan nimetä ja esittää tällaisia lukuja. Hän käytti lähtökohtana myriadia eli kymmentätuhatta ja määritteli ”ensimmäisen asteen” luvuiksi kaikki luvut aina 108 saakka (myriadi myriadia). Seuraavat asteet oli määritelty siten, että jokainen uusi aste kattoi kymmenentuhatta kertaa edellisen suurimman luvun. Näin hän eteni siihen saakka, että pystyi ilmaisemaan lukuja aina 1063:een saakka ja vielä tätä paljon pidemmälle.

Historia

Arkhimedes eli ja kirjoitti hellenistisellä kaudella 200-luvulla eaa. Teoksensa Hiekanlaskija hän osoitti Syrakusan tyrannin Hieron II:n vanhimmalle pojalle Gelonille. Johan Ludvig Heiberg luki Hiekanlaskijan Arkhimedeen myöhäisiin teoksiin, Wilbur Knorr puolestaan varhaisiin. Teos on ainoa Arkhimedeelta säilynyt kirjoitus, joka käsittelee tähtitiedettä.

Teoksen innoitti joidenkin esittämä näkemys, jonka mukaan Sisilian rantojen hiekan määrä olisi joko ääretön tai ainakin suurempi kuin mikään sille osoitettavissa oleva luku. Arkhimedes pyrki todistamaan, että on mahdollista määrittää luku, joka on jopa suurempi kuin kaikkien niiden hiekanjyvien määrä, jotka täyttäisivät kiintotähtien sfäärin. Antiikin kreikkalaisen aritmetiikan kömpelön ja epätäydellisen lukumerkinnän aiheuttamat vaikeudet Arkhimedes onnistuu kiertämään keinolla, joka on periaatteeltaan yhtenevä nykyisten logaritmien kanssa. Tämä on yksi vaikuttavimpia osoituksia suuren matemaatikon neroudesta.

Koska antiikin kommentaattorit eivät juuri puuttuneet Hiekanlaskijaan, sen teksti on säilynyt nykyaikaan alkuperäisessä doorilaisessa murteessa, jolla Arkhimedes — kuten maanmiehensä Theokritos — kirjoitti.Johannes Tzetzes sanoo: , ”Ja hän sanoi syrakusalaisella doorilaisella murteella: "Antakaa minulle paikka seistä ja siirrän Maan paikaltaan"”. Teos on suomennettu osana kokoelmaa Kelluvat kappaleet ja muita kirjoituksia (2025).

Sisältö

Hiekanlaskija on Gelonille osoitetun kirjeen muotoon kirjoitettu lyhyt tutkielma, joka jakautuu neljään lukuun. Teoksen alussa Arkhimedes toteaa, että monet uskovat hiekanjyvien lukumäärän olevan ääretön tai liian suuri laskettavaksi. Hän pyrkii osoittamaan, että tämä ei pidä paikkaansa, ja että matemaattisia menetelmiä käyttäen voidaan ilmaista ja käsitellä hyvin suuria lukuja:Arkhimedes: Hiekanlaskija 1.1–3, teoksessa Arkhimedes 2025, s. 85.

Maailmankaikkeuden koon arviointi

Tämän jälkeen Arkhimedes arvioi luvuissa 1–2 ylärajan maailmankaikkeuden koolle. Tätä varten hän käytti Aristarkhos Samoslaisen aurinkokeskistä mallia. Aristarkhoksen alkuperäinen teos on kadonnut, mutta tämä Arkhimedeen kirjoitus on yksi harvoista säilyneistä viittauksista hänen teoriaansa, jonka mukaan Aurinko pysyy paikallaan ja Maa kiertää Aurinkoa. Arkhimedeen omin sanoin:Arkhimedes: Hiekanlaskija 1–2.

Arkhimedeen mukaan Aristarkhos ei ilmoittanut, kuinka kaukana tähdet olivat Maasta. Siksi Arkhimedeen oli tehtävä seuraavat oletukset:Arkhimedes: Hiekanlaskija 1.4–7.

Maailmankaikkeus on pallonmuotoinen. Maailmankaikkeuden halkaisijan suhde Maan Auringon ympäri kiertämän radan halkaisijaan on sama kuin tämän radan halkaisijan suhde Maan halkaisijaan, toisin sanoen:

Maan radan sisäänsä sulkemaa palloa Arkhimedes kutsuu nimityksellä ”se, mitä me sanomme maailmaksi” (), mikä viittaa yleiseen kielenkäyttöön maakeskisessä maailmankuvassa. Tämä ”maailma” on tärkeää erottaa aurinkokeskisen mallin laajemmasta ”maailmankaikkeudesta” () eli kiintotähtien sfäärin sisäänsä sulkemasta pallosta.

Maailmankaikkeuden koon ylärajan saavuttamiseksi Arkhimedes teki seuraavat oletukset mittasuhteista:

Maan ympärysmitta ei ole suurempi kuin 300 myriadia eli kolme miljoonaa stadionia.Arkhimedes: Hiekanlaskija 1.8. (Arkhimedes käytti oletettavasti egyptiläistä stadionia,Arkhimedes 2025, s. 193, viite 4. noin 157,5 metriä, jolloin ympärysmitta olisi alle . Tämä on yli kymmenen kertaa suurempi kuin todellinen ympärysmitta, n. , ja Arkhimedes itsekin sanoo ylittävänsä tarkoituksella edeltäjiensä arviot korottamalla ne kymmenkertaisiksi. Oletettavasti hän käytti tarkoituksella liian suurta ylärajaa taatakseen turvamarginaalin koko laskelmansa paikkansapitävyydelle.) Maan halkaisija on alle kolmasosa sen ympärysmitasta ja näin enintään 100 myriadia eli miljoonaa stadionia.Arkhimedes: Hiekanlaskija 2.1–3. Maan halkaisija on Kuun halkaisijaa suurempi ja Auringon halkaisija on Maan halkaisijaa suurempi.Arkhimedes: Hiekanlaskija 1.9. Auringon halkaisija on enintään kolmekymmentä kertaa Kuun halkaisijaa suurempi. Auringon näennäinen halkaisija, sellaisena kuin se nähdään Maasta, on suurempi kuin 1/203 suorasta kulmasta (noin π/400 radiaania = 0,45 astetta).

Näillä perusteilla Arkhimedes päätteli, että:

Maan radan eli ”maailman” halkaisija on enintään Maan halkaisija kerrottuna myriadilla, eli 100 myriadia myriadia eli 10 miljardia eli 1010 stadionia. Mailmankaikkeuden halkaisija on enintään maan radan halkaisija kerrottuna myriadilla, eli 100 biljoonaa stadionia eli 1014 stadionia.

Suurten lukujen nimeäminen

Seuraavaksi Arkhimedeen oli keksittävä järjestelmä suurten lukujen nimeämiseksi. Tämän hän esittää luvussa 3. Tuohon aikaan käytössä ollut tavallinen kreikkalainen lukujärjestelmä ulottui vain myriadiin eli saakka, ja käyttämällä itse sanaa ”myriadi” voitiin heti laajentaa nimistö kattamaan kaikki luvut aina myriadiin myriadiin (108) saakka. Arkhimedes kutsui lukuja 108:aan asti ”ensimmäisen asteen” luvuiksi ja nimesi luvun 108 ”toisen asteen yksiköksi”. Tämän yksikön kerrannaiset muodostivat toisen asteen, aina siihen saakka, kun päästiin lukuun myriadi myriadia kertaa myriadi myriadia, eli 108 · 108 = 1016. Tämä oli ”kolmannen asteen yksikkö”, jonka kerrannaiset olivat kolmannen asteen lukuja, ja niin edelleen. Arkhimedes jatkoi lukujen nimeämistä tällä tavoin aina siihen saakka, kunnes päästiin lukuun myriadi myriadia potenssiin myriadi myriadia, eli .Arkhimedes: Hiekanlaskija 3.

Tämän tehtyään Arkhimedes kutsui määrittelemiään asteita ”ensimmäisen periodin asteiksi”, ja viimeistä niistä, , ”toisen periodin yksiköksi”. Sen jälkeen hän muodosti toisen periodin asteet ottamalla tämän yksikön kerrannaisia samalla tavalla kuin ensimmäisessä periodissa. Jatkamalla tällä tavoin hän lopulta päätyi myriadi myriadin periodin asteisiin. Suurin luku, jonka Arkhimedes nimesi, oli tämän viimeisen periodin viimeinen luku, joka on:

Toisin sanoen: ykkönen, jota seuraa biljoonaa (80 · 1015) nollaa.

Periodit ja asteet väleineen nykyaikaisella notaatiolla Periodi Aste Väli Välin log10 1 1 (1, Ơ], jossatoisen asteen yksikköƠ = 108 (0, 8] 2 (Ơ, Ơ2] (8, 16] ⋅⋅⋅ k (Ơk − 1, Ơk] (8k − 8, 8k] ⋅⋅⋅ Ơ (ƠƠ − 1, Ƥ], jossatoisen periodin yksikköƤ = ƠƠ = 108 (8 − 8, 8]= (799 999 992, 800 000 000]2 1 (Ƥ, ƤƠ] (8, 8 × (108 + 1)]= (800 000 000, 800 000 008] 2 (ƤƠ, ƤƠ2] (8 × (108 + 1), 8 × (108 + 2)] ⋅⋅⋅ k (ƤƠk − 1, ƤƠk] (8 × (108 + k − 1), 8 × (108 + k)] ⋅⋅⋅ Ơ (ƤƠƠ − 1, ƤƠƠ]= (Ƥ2Ơ−1, Ƥ2] (8 × (2 − 1), 8 × (2)]= (1.6 − 8, 1.6]= (1 599 999 992, 1 600 000 000] ⋅⋅⋅ Ơ 1 (ƤƠ − 1, ƤƠ − 1Ơ] (8 × (108 − 1), 8 × (108 × (108 − 1) + 1)]= (79 999 999 200 000 000,    79 999 999 200 000 008] 2 (ƤƠ − 1Ơ, ƤƠ − 1Ơ2] (8 × (108 × (108 − 1) + 1),  8 × (108 × (108 − 1) + 2)] ⋅⋅⋅ k (ƤƠ − 1Ơk − 1, ƤƠ − 1Ơk] (8 × (108 × (108 − 1) + k − 1),8 × (108 × (108 − 1) + k)] ⋅⋅⋅ Ơ (ƤƠ − 1ƠƠ − 1, ƤƠ − 1ƠƠ]= (ƤƠƠ−1, ƤƠ] (8 × (2 − 1), 8 × (2)]= (8 − 8, 8]= (79 999 999 999 999 992,    80 000 000 000 000 000] Taso Nimi Matemaattinen ilmaus Arvo 1 yksikkö 1 2 myriadi 10 000 3 1. aste (myriadi myriadia) 100 miljoonaa 4 2. aste 10 miljoonaa miljardia 5 n. aste (aina 108:een asteeseen) maksimi: 6 1. periodi 7 n. periodi (aina 108:een periodiin) maksimi: (Arkhimedeen suurin luku)

Arkhimedeen järjestelmä muistuttaa kantaluvun 108 paikkamerkintäjärjestelmää, mikä on huomionarvoista, sillä antiikin kreikkalaiset käyttivät hyvin yksinkertaista kreikkalaisten numeroiden järjestelmää, jossa 27 kreikkalaisen aakkoston kirjainta edustivat ykkösiä (1–9), kymmeniä (10–90) ja satoja (100–900).

Samalla Arkhimedes keksi ja todisti eksponenttilain, , joka on välttämätön kymmenen potenssien käsittelemiseksi.

Maailmankaikkeuteen mahtuvien hiekanjyvien lukumäärän laskeminen

Tämän jälkeen oli mahdollista laskea hiekanjyvien lukumäärä Aristarkhoksen maailmankaikkeudessa, mikä tapahtuu luvussa 4. Arkhimedes väittää, että neljäkymmentä unikon siementä vierekkäin asettuna vastaisi yhtä kreikkalaista daktylosta (sormenleveyttä), joka oli noin 19 mm (3/4 tuumaa) pitkä. Koska tilavuus kasvaa lineaarisen mitan kuutiona (”On näet osoitettu, että palloilla on kolminkertainen suhde toisiinsa niiden halkaisijoiden suhteessa”),Arkhimedes: Hiekanlaskija 4.1, teoksessa Arkhimedes 2025, s. 100. pallo, jonka halkaisija on yksi daktylos, sisältäisi (nykyisellä lukujärjestelmällämme) 403 eli unikon siementä.Arkhimedes: Hiekanlaskija 4.

Tämän jälkeen Arkhimedes oletti, että jokainen unikon siemen voisi sisältää myriadin () hiekanjyvää. Nämä luvut keskenään kertomalla hän päätyi :een, eli palloon, jonka halkaisija on yksi daktylos, mahtuisi hypoteettisesti 640 miljoonaa hiekanjyvää.

Jatkossa helpottaakseen laskelmia Arkhimedes pyöristi 640 miljoonaa miljardiin, todeten vain, että ensimmäinen luku on pienempi kuin jälkimmäinen ja että näin ollen myöhemmin saadut hiekanjyvien määrät tulevat ylittämään todellisen lukumäärän. Arkhimedeen perimmäisenä tavoiteena teoksessaan olikin osoittaa, miten laskea aiemmin mahdottoman suurina pidetyillä luvuilla – ei niinkään tarkasti määrittää, montako hiekanjyvää maailmankaikkeuteen mahtuisi.

Kreikkalainen stadion oli 600 kreikkalaisen jalan pituinen, ja jokainen jalka oli 16 daktylosta pitkä, joten stadionissa oli daktylosta. Arkhimedes pyöristi tämän luvun jälleen :een, helpottaakseen laskelmia, huomauttaen jälleen, että tuloksena saatu hiekanjyvien määrä tulee ylittämään todellisen lukumäärän.

Luvun kuutio on biljoona (1012); ja kertomalla miljardi (hiekanjyvien määrä yhdessä daktylos-pallossa) biljoonalla (daktylos-pallojen määrä stadion-pallossa) saadaan 1021, eli hiekanjyvien määrä yhdessä stadion-pallossa.

Luvussa 1 Arkhimedes oli arvioinut, että Aristarkhoksen maailmankaikkeuden halkaisija oli 1014 stadionia, joten stadion-pallojen lukumäärä maailmankaikkeudessa olisi (1014)3 eli 1042. Kertomalla 1021 luvulla 1042 saadaan 1063, eli hiekanjyvien määrä Aristarkhoksen maailmankaikkeudessa.

Jos seurataan Arkhimedeen oletusta, jonka mukaan yhteen unikon siemeneen mahtuu hiekanjyvää; daktylos-palloon mahtuu unikon siementä; ja stadionin pituus on daktylosta; ja jos hyväksytään 19 mm daktyloksen leveydeksi, tällöin Arkhimedeen ajatteleman tyypillisen hiekanjyvän halkaisijaksi saadaan 18,3 μm (0,0183 mm) – mitä nykyisin kutsuttaisiin silttihiukkaseksi. Nykyisen määritelmän mukaan pienimmän hiekanjyvän halkaisija on 60 μm (0,06 mm).

Lähteet

Kirjallisuutta Suomennos