Функції Бріллюена та Ланжевена — дві спеціальні функції, що виникають під час вивчення ідеалізованого парамагнітного матеріалу в статистичної механіці.
Функція Бріллюена Функція БріллюенаЧ. Киттель. Введение в физику твердого тела. — М.: Наука, 1978. — С. 522 — спеціальна функція, яку визначають таким рівнянням: Функцію зазвичай застосовують (див. нижче) в контексті, де х — дійсна змінна і J — додатне ціле чи напівціле число. В цьому випадку функція змінюється від -1 до 1, досягаючи +1, при і -1 при .
Найчастіше застосовують при розрахунку намагніченості ідеального парамагнетику. Зокрема, функція описує залежність намагніченості від прикладеного магнітного поля і повного кутового моменту J матеріалу, що складається з мікроскопічних магнітних моментів. Намагніченість дається формулою:
де
— кількість атомів на одиницю об'єму, — g-фактор, — магнетон Бора, — відношення зееманівської енергії магнітного моменту в зовнішньому полі до теплової енергії :
де — стала Больцмана, — температура.
Зазначимо, що в Міжнародній системі одиниць (SI) індукція магнітного поля вимірюється в теслах, , де — напруженість магнітного поля в А/м, — магнітна стала.
Функція Ланжевена У класичній границі, моменти можуть неперервно вишикуватися за полем і може набувати всіх значень (). У цій границі функція Бріллюена перетворюється на функцію Ланжевена, названу на честь Поля Ланжевена: Для малих значень , функцію Ланжевена можна розкласти в ряд Тейлора:
Альтернативну апроксимацію можна отримати з неперервного дробу Ламберта розкладу :
За досить малих , обидві апроксимації чисельно кращі, ніж пряма оцінка аналітичного виразу, оскільки остання страждає від втрати значущості.
Високотемпературна границя При , тобто, коли мале, намагніченість можна апроксимувати законом Кюрі:
де — стала. Можна відзначити, що — ефективна кількість магнетонів Бора.
Границя високих полів При функція Бріллюена перетворюється на 1. Намагніченість насичується і магнітні моменти повністю вишиковуються в напрямку прикладеного поля:
Посилання