Tautologi är en benämning på en sats inom satslogiken, som är sann för varje tillordning av sanningsvärden till dess satssymboler.Alonzo Church, Introduction to Mathematical Logic. Princeton University Press, 1956. Ludvig Wittgenstein introducerade begreppet 1921 i verket Tractatus Logico-Philosophicus. I tvåvärd logik blir negationen av en tautologi en kontradiktion.Jean van Heijenoort, From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, Harvard University Press 1967.
Översikt och definition Att en sats S i satslogiken är en tautologi, skrivs med symboler: . Ett enkelt exempel på en satslogisk tautologi är: , som uttrycker den språkliga satsen: A eller icke-A.
Emil L. Post visade att det satslogiska systemet PS med språket P är semantiskt fullständigt och därmed att varje tautologi S, i det satslogiska språket P är ett teorem i systemet PS, vilket symboliskt kan uttryckas enligt följande: Om , så .
Trots att den logiska betydelsen av ordet "tautologi" är helt skild från den äldre rent språkliga betydelsen av ordet, är sammanblandning av de två begreppen vanlig.Richard von Mises, Positivism: A Study in Human Understanding, Cambridge University Press 1951.
Begreppet tautologi är ursprungligen definierat i satslogiken, men har även utvidgats till predikatlogiken, på så sätt att satslogikens satssymboler ersätts med predikatlogiska formler.
Eftersom är en tautologi i satslogiken, så är exempelvis: en tautologi i predikatlogiken.
I satslogiken är alla satslogiskt giltiga formler även tautologier, vilket dock inte gäller i predikatlogiken eller generellt i första ordningens logik. Exempelvis är satsen:
satslogiskt giltig, men inte en tautologi eftersom den motsvaras av den satslogiska satsen , som inte är en tautologi.Geoffrey Hunter, Metalogic, An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, MacMillan, London 1971.
Exempel på tautologier De satslogiska konnektiven har följande proritetsordning: . A, B och C är satssymboler. Formel Naturligt språk KommentarNegering av icke-A är detsamma som AReduktion av dubbel negationA eller icke-AFormeln är ett sätt att uttrycka lagen om det uteslutna tredje. Om A implicerar B så implicerar icke-B icke-A, och omvänt. Formeln uttrycker kontraposition Om icke-A implicerar både B och dess negation icke-B, så följer att icke-A är falskt, och således att A är sant. Formeln visar den princip som också kallas reductio ad absurdum. Om inte både A och B, så icke-A eller icke-B, och omvänt. Formeln uttrycker en av de Morgans lagar. Om A implicerar B och B implicerar C, så implicerar A, C. Formeln är ett exempel på en syllogism. Om åtminstone A eller B är sant, och om båda implicerar C, så måste C också vara sant. Formeln är ett exempel på uteslutningsmetoden.
Se även Tautolog implikation Satslogik Boolesk algebra Deduktionsteoremet Reductio ad absurdum Härledningsbegrepp Kontradiktion Teorem
Referenser Noter
Källor Raymond M. Smullyan, First-Order Logic, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1968. Stephen Cole Kleene, Mathematical Logic, Wiley and Sons, New York 1967. Geoffrey Hunter, Metalogic, An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, MacMillan, London 1971.
Kategori:Metalogik Kategori:Logiska uttryck Kategori:Logisk sanning Kategori:Matematisk logik Kategori:Satslogik Kategori:Påståenden Kategori:Semantik Kategori:Meningar efter typ Kategori:Härledningsbegrepp