Amalie Emmy Noether, född 23 mars 1882 i Erlangen i Tyskland, död 14 april 1935 i Bryn Mawr i USA, var en tysk matematiker främst känd för sitt nyskapande tänkande inom abstrakt algebra och teoretisk fysik. Hon har, av bland andra Albert Einstein, beskrivits som den viktigaste kvinnan i matematikens historia. Som en av de ledande matematikerna under sin tid utvecklade hon teorier om ringar, kroppar och algebror. Inom fysiken beskriver Noethers sats sambandet mellan symmetrier och konserveringslagar.
Noethers matematiska arbete kan delas in i tre "epoker". Under den första (1908–1919) bidrog hon till teorier om algebraisk invarians och talkroppar. Den andra epoken (1920–1926) ägnades åt att utveckla teorin om ideal till kommutativa ringar med hjälp av "det stigande kedjevillkoret" (eng: ascending chain condition), vilket är en egenskap som kan innehas av algebraiska strukturer. Objekt som uppfyller villkoret kallas Noetheriska efter henne. Under den tredje epoken (1927–1935) publicerade Noether artiklar om okommutativa algebror och hyperkomplexa tal, samt länkade samman representationsteori för grupper med teorier för moduler och ideal. Utöver egna publikationer har Noether bidragit till många andra matematikers arbeten även inom områden utanför sin egen forskning, så som exempelvis algebraisk topologi.
Biografi
Uppväxt Emmy Noether föddes i en välbärgad judisk familj i Erlangen, som äldst av fyra syskon. Hennes far, Max Noether, var själv matematiker och professor vid Erlangens universitet. Hennes bror Fritz Noether verkade också som matematiker.
Från skolgången beskrivs Noether som duktig och trevlig. En familjevän har i efterhand berättat om hur Noether på ett barnkalas imponerade med sin snabbtänkthet då de ställdes inför en matematisk klurighetsuppgift. Vid sidan av studierna tog Noether pianolektioner, som brukligt var, men var inte särskilt intresserad och kom därför inte mycket längre än nybörjarnivå.
Utbildning miniatyr|Emmy Noether (1882−1935) Noether utbildade sig först till språklärare i franska och engelska och hade snittbetyget sehr gut (mycket bra). Hon kvalificerade sig därmed som språklärare på flickskolor, men började istället att studera matematik vid Erlangens universitet. Som kvinna i Tyskland vid denna tid tilläts inte Noether skriva in sig som student vid universitetet, utan fick närvara som åhörare vid föreläsningar så länge den professor som höll i föreläsningen givit sitt tillstånd till detta. Det var inte alla professorer som tillät kvinnor att närvara och vid ett tillfälle vägrade en professor att inleda sin föreläsning med en kvinna i rummet. Vinterterminen 1900/1901 var två av 986 inskrivna studenter kvinnor – en av dem var Emmy Noether. Parallellt med universitetsstudierna förberedde sig Noether för Reifeprufung (gymnasieexamen), vilken hon tog 14 juli år 1903 vid Konigliches Realgymnasium i Nürnberg.
Under vinterterminen 1903/1904 studerade Noether som "åhörare" vid universitetet i Göttingen. Bland hennes föreläsare fanns astronomen Karl Schwarzschild samt matematikerna Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Felix Klein och David Hilbert. Efter en termin återvände hon dock till Erlangen sedan det blivit tillåtet för kvinnor att bli inskrivna som studenter och examineras på samma sätt som de manliga studenterna. Med matematik som enda ämne gick hon på föreläsningar med både sin far Max Noether och Paul Gordan. Gordan kom senare att bli hennes handledare då hon skrev sin avhandling Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (Om bildandet av invariantsystem för ternära bikvadratiska former) 1907. Hon fick dock inte hålla den habilitationsföreläsning som vid denna tid krävdes för att fullborda ett tyskt doktorat.
Akademisk karriär Efter att ha färdigställt sin avhandling arbetade Noether oavlönat vid Erlangens matematiska institut i sju år, delvis med att avlasta sin far och delvis med eget arbete. Hon publicerade bland annat vidareutvecklingar av sin avhandling – från 3 till n variabler. Trots avsaknad av officiell doktorsgrad rönte hon uppskattning från Albert Einstein, som drog nytta av hennes resultat inom invariansanalysen i sin egen allmänna relativitetsteori och starkt prisade henne i ett brev till den tyske matematikern David Hilbert.
Hilbert intresserade sig för hennes forskning och tillsammans med Felix Klein inbjöd han henne till Göttingens universitet 1915. Den filosofiska fakulteten motsatte sig dock detta (trots Hilberts protester om att en kandidats kön inte borde vara ett argument mot att anta någon som privatdocent – "det var trots allt ett universitet och inte ett badhus") och under fyra års tid tvingades hon föreläsa under Hilberts namn. Under denna tid bevisade hon vad som nu är känt som Noethers sats, som säger att varje kontinuerlig symmetri motsvarar en bevarad storhet (givet av en konserveringslag). Rapporten presenterades av Klein 1918 vid ett möte för Kungliga Vetenskapssällskapet i Göttingen. Troligtvis presenterade Noether inte sitt arbete själv eftersom hon inte var medlem i sällskapet.
1919 godkändes slutligen Noethers habilitation och hon blev utnämnd till privatdocent (en oavlönad post). Tre år senare blev hon befordrad till inofficiell lektor, vilket var ett erkännande av hennes arbete men fortfarande en oavlönad post. Inte förrän ytterligare ett år senare började Noether få betalt för sitt arbete vid universitetet. Ditintills hade hennes familj fått bekosta hennes mat och husrum.
Den nederländske matematikern B. L. van der Waerden arbetade nära Noether och hennes arbete lade grunden för den andra volymen av van der Waerdens inflytelserika lärobok från 1931, Moderne Algebra.
Från åren 1911–1929 finns en välbevarad brevkorrespondens mellan Emmy Noether och matematikern Ernst Fischer. De skickade många vykort till varandra med matematiska argumentationer och det är tydligt att dessa influerat Noether att överge den mer beräknings- och algoritminriktade matematiken, som Gordan vurmat för, till förmån för abstrakt algebra – ett område som hon kom att göra stora bidrag till. Hon har senare beskrivit både sin doktorsavhandling och annat arbete under Gordan som "skräp".
1933 tvingades Noether lämna Göttingen, då nazisterna inte tillät judar att ha tjänster vid de tyska universiteten. Hon flydde till USA och fick en gästprofessur vid Bryn Mawr College i Pennsylvania där hon stannade till sin död två år senare.
Död I april 1935 upptäckte läkare en tumör i Noethers bäcken. Av oro för eventuella komplikationer vid en operation beordrades hon först två dagars vila, men senare vid operationen upptäcktes en stor ovarialcysta. Man upptäckte även två mindre tumörer i livmodern, men då de föreföll godartade togs dessa inte bort för att undvika förlängd operation. Trots att det verkade som att Noether återhämtade sig fint avled hon bara några dagar efter operationen, den 14 april 1935.
Hennes dödsruna i New York Times skrevs av Albert Einstein och flera av hennes matematikerkolleger världen över hyllade och mindes henne. Noether kremerades och askan begravdes under pelargångarna vid M. Carey Thomas bibliotek vid Bryn Mawr College.
Bidrag inom matematik och fysik
Första epoken (1908–1919): Algebraisk invariansteori Under den första epoken i sin karriär ägnade Noether mycket tid åt invariansteori. Invariansteori är en gren inom abstrakt algebra som berör uttryck som hålls konstanta (invarianta) under vissa transformationer. Ett vardagligt exempel ges av att om du roterar en pinne vars initiala ändpunktskoordinater ges av (x1, y1, z1) så ändras ändpunktskoordinaterna till (x2, y2, z2). Däremot är dess längd, vilken ges av L2 = Δx2 + Δy2 + Δz2, konstant. Invariantteori var ett populärt forskningsområde under sent 1800-tal och särskilt drivande var Felix Klein med Erlangenprogrammet, enligt vilket olika geometrier bör karaktäriseras utefter deras invarians under transformationer.
Ett exempel på en invarians är diskriminanten B2 − 4 A C av en binär kvadratisk form x·A x + y·B x + y·C y, där x och y är vektorer och "·" är den skalärprodukten eller inre produkten mellan dessa vektorer. A, B och C är linjära operatorer till dessa vektorer – typiskt matriser. Diskriminanten kallas invariant eftersom den inte ändras under linjära substitutioner x → a x + b y, y → c x + d y med determinant a d − b c = 1. Dessa substitutioner utgör den speciella linjära gruppen SL2. Alla polynom i A, B och C som är oförändrade under SL2 kallas för invarianser av binära kvadratiska former och visar sig vara polynomen i diskriminanten.
Första epoken (1908–1919): Galoisteori År 1918 publicerade Noether en artikel om inversa Galoisproblemet. Problemet handlar inte om att bestämma Galoisgruppen av transformationer av en given kropp och dess utvidgning, utan Noether frågade huruvida det går att hitta en utvidgning av en given kropp som har en viss grupp som sin Galoisgrupp. Noether reducerade detta till "Noethers problem", som frågar huruvida fixerade kroppen av en delgrupp G av permutationsgruppen Sn med verkan på kroppen alltid är en ren transcendent utvidgning av kroppen k. (Hon nämnde detta problem för första gången i en uppsats från 1913, där hon sade att problemet framlagts av hennes kollega Ernst Sigismund Fischer.) Hon bevisade att detta är sant för , 3 eller 4. År 1969 upptäckte R. G. Swan ett motexempel till Noethers problem med och G en cyklisk grupp av ordning 47 (dock kan denna grupp ses som en Galoisgrupp över rationella talen på andra sätt). Inversa Galoisproblemet förblir olöst i det allmänna fallet.
Första epoken (1908–1919): Fysik David Hilbert och Felix Klein bjöd in Noether till Göttingens universitet år 1915 eftersom de behövde hennes expertis inom invariansteori för att få hjälp att förstå generell relativitetsteori, en geometrisk gravitationsteori främst utvecklad av Albert Einstein. Hilbert hade observerat att generell relativitet verkade bryta mot energikonserveringen eftersom gravitationsenergi kunde gravitera. Noether kom fram till lösningen på denna paradox samt Noethers första sats, ett fundamentalt verktyg inom modern teoretisk fysik som hon bevisade år 1915 och publicerade år 1918. Hon löste inte bara problemet för generell relativitet, utan bestämde även de konserverade storheterna för alla fysikaliska system som har någon form av kontinuerlig symmetri.
Om ett fysikaliskt system har samma beteende oavsett orientering i rummet så är de fysikaliska lagarna som styr systemet rotationssymmetriska. Från denna symmetri visar Noethers sats att rörelsemängdsmomentet måste vara bevarat. Det fysikaliska systemet behöver i sig självt inte vara symmetriskt; en ojämn asteroid som rör sig i rymden bevarar rörelsemängdsmomentet trots sin asymmetri. Istället är det symmetrin hos de fysikaliska lagarna som styr systemet som bidrar till konserveringen.
Om ett fysikaliskt experiment har samma utfall oavsett tid och plats så är dess lagar symmetriska under kontinuerliga translationer i rum och tid. Enligt Noethers sats ger dessa symmetrier att rörelsemängd respektive energi bevaras inom systemet.
Noethers sats har blivit ett fundamentalt verktyg inom modern teoretisk fysik, dels för insikten om konserveringslagar och dels som praktiskt beräkningsverktyg. Satsen gör det möjligt för forskare att bestämma konserverade storheter utifrån observerade symmetrier i ett system. Omvänt förenklar den beskrivningen av ett fysikaliskt system baserat på klasser av hypotetiska fysikaliska lagar. Antag exempelvis att ett nytt fysikaliskt fenomen upptäcks. Då ger Noethers sats en möjlighet att testa teoretiska modeller för systemet: Om teorin har en kontinuerlig symmetri garanterar Noethers sats att teorin har en bevarad storhet, så för att teorin ska vara korrekt måste detta storhetsbevarande gå att observera experimentellt.
Andra epoken (1920–1926): Stigande och fallande kedjevillkor