Navier-Stokes ekvationer beskriver hur flöden av vätskor och gaser beter sig. De har fått sitt namn från Claude-Louis Navier och George Gabriel Stokes.
Allmänt Ekvationerna gäller där fluiden uppträder som ett kontinuum, vilket innebär att flödets karakteristiska detaljer är mycket större än fluidens molekyler. Detta gäller med stor marginal för "normala" flödesproblem men kan behöva beaktas vid analys av gaser vid mycket låga tryck.
Ekvationerna gäller för enfasproblem, det vill säga gas eller vätska. För blandningar av till exempel vatten och ånga måste många ytterligare antaganden göras och ytterligare ekvationer lösas för interaktion och gränsytor mellan faserna.
Ekvationerna kan teoretiskt sett hantera uppkomsten av turbulens, där lösning av ekvationerna utan användning av turbulensmodell kallas för Direkt Numerisk Simulering (DNS). På grund av turbulensens mycket små längdskalor måste en sådan analys göras med en indelning av beräkningsområdet i extremt små delområden och blir oerhört resurskrävande. I praktiken måste därför turbulensmodeller användas för att modellera uppkomst av turbulens, men DNS används i forskningssammanhang.
Navier-Stokes ekvationer består, beroende på problemet, av en till tre partiell differentialekvationer för bevarande av rörelsemängd:
och en ekvation för bevarande (konservering) av massa:
samt en ekvation för bevarande av energin:
där är det lokala trycket och är den lokala spänningstensorn. För ideala, linjärt viskösa gaser gäller:
är en gaskonstant med typiskt värde 1.4 för vanliga gaser, är fluidens viskositet och är värmeledningsförmågan, vanligen betraktade som konstanter. Symbolen är Kroneckerdeltat.
Ekvationerna är matematiskt svårhanterliga och explicita lösningar går bara att få fram för ett fåtal specialfall. Numeriska, approximativa lösningar beräknas däremot idag rutinmässigt av utvecklingsingenjörer inom industrin med hjälp av kraftfulla datorer och mjukvara kallad strömningslösare eller CFD-program, CFD = Computational Fluid Dynamics.
För de tredimensionella inkompressibla Navier-Stokes-ekvationerna har det länge varit ett öppet problem huruvida släta begynnelsedata alltid ger lösningar som förblir släta för all framtid, eller om en singularitet kan uppstå efter ändlig tid. Problemet är ett av matematikens millennieproblem.Navier-Stokes Equation, Clay Mathematics Institute.
I september 2026 meddelade OpenAI att ett internt AI-system hade genererat ett analytiskt bevis, tillsammans med en formell verifiering i Lean, för att en initialt slät lösning kan utveckla en singularitet efter ändlig tid. Konstruktionen använder en slät extern kraft. Enligt OpenAI uppfyller resultatet alternativen C och D i den officiella formuleringen av millennieproblemet. Resultatet hade vid offentliggörandet ännu inte etablerats som en allmänt accepterad lösning på problemet.
Se även Direkt numerisk simulering Fluid Strömningsmekanik Millennieproblemen Computational fluid dynamics
Källor
Externa länkar
Kategori:Strömningsmekanik Kategori:Olösta matematiska problem Kategori:Partiella differentialekvationer