Kroneckerprodukt är en matematisk operation på två matriser, vilket resulterar i en ny, större, matris som enklast uttrycks som en blockmatris. Operationen är uppkallad efter Leopold Kronecker.
Definition Om A är en m × n-matris och B är en p × q-matris så är deras kroneckerprodukt en mp × nq-matris definierad av:
Exempel Låt A och B vara definierade enligt:
Deras kroneckerprodukter blir:
Egenskaper Kroneckerprodukten har egenskaperna
om AC och BD är definierade.
Egenvärden Om för i = 1, 2, ..., n är egenvärden till A och för j = 1, 2, ..., q är egenvärden till B så är ett egenvärde till deras kroneckerprodukter för alla kombinationer av i och j och alla egenvärden till kroneckerprodukterna uppkommer på detta sätt.
Ur detta kan man få ekvationer för matrisspåren och determinanterna för kroneckerprodukterna:
Kroneckersumma En kroneckersumma av två kvadratiska matriser A och B (n × n respektive m × m) är matrisen definierad av
Kroneckersummans egenvärden är på formen .
Matrisekvationer Kroneckerprodukter kan användas för att lösa matrisekvationer av typen AxB = C, då man kan få en lösning genom
som löses som ett vanligt ekvationssystem. vec C är vektoriseringen av matrisen C, C:s kolonner staplade ovanpå varandra i en vektor.
Kroneckersummor används vid lösningen av Sylvesters ekvation, AX + XB = C, då en lösning ges av:
Referenser .
Kategori:Matrisalgebra Kategori:Matristeori