Parsevals formel är en formel inom Fourieranalys som relaterar en integral av en funktion till dess Fourierkoefficienter. Satsen har sitt ursprung i en sats om serier från 1799 av Marc-Antoine Parseval som senare tillämpades på Fourierserier.
Parsevals formel ger ett villkor för när likhet uppstår i Bessels olikhet. En liknande sats är Plancherels sats.
Formulering Parsevals formel har en formulering om rummet som är vanligt förekommande inom tillämpningar, men även en formulering om allmänna inre produktrum. Formuleringen i är ett specialfall av den allmänna formuleringen.
Fourierserier I rummet säger Parsevals formel att för två funktioner f och g i rummet gäller att:
och
där och är Fourierkoefficienterna till f respektive g givet av:
Inre produktrum En allmännare form av Parsevals sats behandlar allmänna inre produktrum. Låt V vara ett inre produktrum, då säger Parsevals sats att en följd av ortonormala element i V är fullständig (dvs, det linjära höljet av är tät i V) om och endast om
för alla x i V. Som en följd av Parsevals sats får man att om är ett fullständigt ortonormalt system i V kan varje x i V skrivas som en summa (Fourierserie):
och serien konvergerar i inre produktrummets norm:
Man får även följande likhet för att räkna ut skalärprodukten mellan två element genom att använda koefficienterna:
Referenser
Kategori:Fourierserier Kategori:Satser inom funktionalanalys