En ortogonalgrupp är ett matematiskt begrepp inom algebra. Ortogonalgruppen av grad , betecknad eller , är gruppen bestående av alla isometriska -dimensionella linjära avbildningar med en fix punkt. är en undergrupp till den allmänna linjära gruppen , och en av de s.k. klassiska Lie-grupperna. Representerad av matriser består av alla -matriser med determinant .

Formell definition

Den n-dimensionella ortogonalgruppen över de reella talen är en grupp där

mängden är definierad som:

d.v.s. funktioner bevarar skalärprodukten och

gruppoperationen är definierad som:

för alla och ,

d.v.s. gruppoperationen är sammansättning.

Man kan konstruera ortogonalgrupper över vilken kropp som helst, exempelvis de reella talen, komplexa talen och ändliga kroppar.

Likvärdiga definitioner

Det finns många likvärdiga definitioner för ortogonalgruppen.

Isometrier

Mängden kan också ses som alla linjära isometrier . Mer precist,

d.v.s. funktioner bevarar avstånden.

Ortogonalmatriser

Eftersom det finns en bijektionen mellan alla linjära avbildningar och matriser av storlek så kan man se mängden som alla ortogonalmatriser av storlek . Mer precist,

då gruppoperationen är matrismultiplikation.

Speciella ortogonalgruppen

Alla matriser i har egenskapen att

Om man tar alla matriser med

får man en normal undergrupp som kallas den speciella ortogonalgruppen, betecknad .

Egenskaper

Ortogonalgruppen har några egenskaper.

Lokalt kompakt topologisk grupp

Ortogonalgruppen är en lokalt kompakt topologisk grupp eftersom det är ett metriskt rum vars topologi är lokalt kompakt. Metriken är

för alla

Måttstruktur

Eftersom ortogonalgruppen är en lokalt kompakt topologisk grupp finns ett unikt Haarmått i O(n) som ofta betecknas

där är Borelalgebran i ortogonalgruppen O(n). Det här måttet kallas ofta ett vridningsinvariant mått.

Se även

Abstrakt algebra Gruppteori Liegrupper Grassmannmångfald Måtteori

Referenser

Mattila, P. "Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces: Fractals and Rectifiability", Cambridge University Press, 1995.

Kategori:Gruppteori Kategori:Liegrupper