Begränsade konvergenssatsen är en matematisk sats i måtteori. Den säger att man kan byta ordning på gränsvärde och integral om måttet för måttrummet är ändligt och funktionerna i en funktionsföljd är likformigt begränsade.
Satsen
Låt vara ett måttrum så att . Låt vara en följd av integrerbara funktioner så att för alla med . Då är
Bevis
Detta är en enkel följd av dominerade konvergenssatsen, som kan appliceras på en funktion:
Funktionen g är mätbar eftersom . Dessutom
dvs funktionen g är också integrerbar. Å andra sidan
för alla . Så att
Vilket bevisar satsen.
Se även
Monotona konvergenssatsen Dominerade konvergenssatsen Beppo Levis sats
Referenser
Kategori:Satser inom måtteori