Inom matematiken är den absoluta Galoisgruppen GK av en kropp K Galoisgruppen av Ksep över K, där Ksep är ett separabelt hölje av K. Alternativt är den gruppen av alla automorfier av det algebraiska höljet av K som fixerar K. Den absoluta Galoisgruppen är unik så när som på isomorfi. Den är en proändlig grupp.

Då K är en perfekt kropp, är Ksep samma som det algebraiska höljet Kalg av K. Detta gäller t.ex. för K med karakteristik noll, eller då K är en ändlig kropp.

Exempel Den absoluta Galoisgruppen av en algebraiskt sluten kropp är trivial. Den absoluta Galoisgruppen av reella talen är en cyklisk grupp av två element (komplexkonjugation och identiteten), eftersom C är det separabla höljet av R och [C:R] = 2. Den aboluta Galoisgruppen av en ändlig kropp K är isomorfisk till gruppen

(För beteckningen, se inverst limes.) Frobeniusautomorfin Fr är en kanonisk (topologisk) generator av GK. (Frobeniusautomorfin definieras som Fr(x) = xq för alla x i Kalg, där q är antalet element i K.) Den absoluta Galoishgruppen av kroppen av rationella funktioner med komplexa koefficienter är fri (som en proändlig grupp). Detta resultat bevisades av Adrien Douady och har sina rötter i Riemanns existenssats. Mer allmänt, låt C vara en algebraiskt sluten kropp och x en variabel. Då är den absoluta Galoisgruppen av K = C(x) fri med ranf lika med kardinaliteten av C. Detta resultat upptäcktes av David Harbater och Florian Pop, och bevisades senare även av Dan Haran och Moshe Jarden med algebraiska metoder. Låt K vara en ändlig utvidgning av p-adiska talen Qp. För p ≠ 2 är dess absoluta Galoisgrupp genererad av [K:Qp] + 3 element och har en explicit beskrivning av generatorer och relationer. Detta är ett resultat av Uwe Jannsen och Kay Wingberg. Några resultat är kända i fallet p = 2, men strukturen av Q2 är inte känd. Ett annat fall då den absoluta Galoisgruppen kan bestämmas är den största totalt reella delkroppen av kroppen av algebraiska talen.http://math.uci.edu/~mfried/paplist-cov/QTotallyReal.pdf

Några allmänna resultat Varje proändlig grupp förekommer som Galoisgruppen av någon Galoisutvidgning,Fried & Jarden (2008) p.12 men varje proändlig grupp förekommer inte som en absolut Galoisgrupp.

Varje projektiv proändlig grupp kan ses som den absoluta Galoisgruppen av en pseudoalgebraiskt sluten kropp. Detta bevisades av Alexander Lubotzky och Lou van den Dries.Fried & Jarden (2008) pp. 208, 545

Referenser

Källor

Noter

Kategori:Galoisteori