Riemanns zetafunktion

miniatyr|höger|Riemanns zeta-funktion ζ(s) i det komplexa planet. Färgen på en punkt s visar värdet av ζ (s): starka färger är för värden nära noll och nyansen visar värdet på argumentet. Den vita fläcken vid s = 1 är en pol, de svarta prickarna på den negativa reella axeln och på den kritiska linjen Re (er) = 1/2 är nollställen.

Riemanns zetafunktion eller Euler–Riemanns zetafunktion är en av de viktigaste funktionerna inom den komplexa analysen. Den används bland annat inom fysik, sannolikhetsteori och statistik. Det finns även en koppling mellan funktionen och primtalen, se Riemannhypotesen. Hypotesen är ett av såväl Hilbertproblemen som Millennieproblemen och är fortfarande obevisad.

Funktionen är den analytiska fortsättningen av serien

Historia Under 1700-talet undersökte Euler serien med reella värden på s:

Serien konvergerar när s > 1. Han upptäckte att serien ovan även kan uttryckas som en oändlig produkt över alla primtal.

Bernhard Riemann undersökte den i det komplexa talplanet och bevisade att funktionen konvergerar för hela komplexa talplanet då Re(s) > 1. Sedan dess används beteckningen ζ(s) för Riemanns zetafunktion.

Definition Man kan definiera Riemanns zeta-funktion ζ(s) på två sätt, med hjälp av en Dirichletserie samt som en Eulerprodukt.

Dirichletserie Riemanns zeta-funktion definieras för {s ∈ C: Re(s)>1}, d.v.s. s= σ + it, σ>1, enligt:

Enligt Cauchys intergraltest är denna serie konvergent inom det intervallet. Enligt Weierstrass kriterium är funktionen ζ(s) holomorfisk för Re(s)= σ >1 och därmed absolutkonvergent.

Eulerprodukt Euler visade år 1737Beviset presenterades för akademin i Sankt Petersburg den 25 april 1737 enligt The Euler Archive . Det publicerades 1844 som teorem 8 i artikeln Variae observationes circa series infinitas sid. 174-176. i Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 för år 1737 vars försättsblad finns att beskåda här . Engelsk översättning finns här (teorem 8 på sid. 9-10). att serien

kan skrivas om som en produkt över alla primtal:

Man kan börja skriva om högerledet som en geometrisk serie:

där pi är det i:e primtalet.

I nästa steg utvecklar vi produkten av summan och vi får:

Nu kan vi med hjälp av aritmetikens fundamentalsats skriva om summorna: Eftersom varje primtalsuppdelning är unik, och alla tal kan skrivas som en produkt av primtal (och en oändlig mängd ettor), så kommer varje heltal att dyka upp en och endast en gång, och därmed kan vi skriva

Funktionalekvation För alla gäller funktionalekvationen

Den kan skrivas i den symmetriska formen

Riemann definierade en annan funktion, Riemanns xi-funktion, med hjälp av vilken funktionalekvationen kan skrivas ännu kortare. Dess definition är

och dess funktionalekvation är

Serierepresentationer Laurentserie Riemanns zeta-funktion är meromorfisk med en simpel pol för s = 1. Därför kan den utvecklas i en Laurentserie runt s = 1:

Konstanterna γn kallas Stieltjeskonstanterna och kan definieras som

Konstanttermen γ0 är Eulers konstant.

Globalt konvergerande serier En globalt konvergerande serie för zetafunktionen valid för alla komplexa tal s utom för något heltal n förmodades av Konrad Knopp och bevisades av Helmut Hasse 1930:

Hasse bevisade även serien

Övriga serier En serie med Pochhammersymbolen är

Integralrepresentationer För alla gäller

och

För gäller

En annan integral för är

.

Några specialfall för och är

.

En integral för zetafunktionens derivata är

som gäller för alla komplexa tal utom 1.

För alla kan zetafunktionen skrivas som multipelintegralen

Egenskaper Även om är

det vill säga zetafunktionen har en simpel pol vid s = 1 med residy 1.

Speciella värden

Jämna positiva heltal

och i allmänhet

för n ∈ N.

Udda positiva heltal

Man känner inte till någon sluten form för zetafunktionens udda värden, men flera snabbt konvergerande serier har bevisats:

Negativa heltal

Derivata Zetafunktionens derivata för negativa jämna heltal ges av

De första värdena blir

Andra värden är

och

där A är Glaisher–Kinkelins konstant.

Relation till andra funktioner Zetafunktionen kan formellt ges som Mellintransformationen

med hjälp av Jacobis thetafunktion

Integralen konvergerar dock inte för något värde på s, men kan modifieras till följande uttryck för zetafunktionen:

Användning Kopplingen mellan zetafunktionen och primtalen gör att zetafunktionen fortfarande är av intresse för matematiker. Riemannhypotesen som handlar om nollställen av zeta i sin tur som skulle kunna bestämma utbredning av alla primtal, en bättre approximation av de olika aritmetiska funktioner som t.ex. primtalfunktionen π(x).

Man kan hitta ett användningsområde av denna funktion även i statistik som ”Zipfs lag” och i matematiska teorier för stämning av musik. Inom fysik utnyttjas den i kaos i klassiska och kvantmekaniska system.

Formler som innehåller zetafunktionen

där ψ0 är digammafunktionen.

Serier relaterade till Eulers konstant är

En serie för Catalans konstant är

Några serier av Adamchik och Srivastava:

och

där är Bernoullitalen och är Stirlingtalen av andra ordningen.

Övrigt Man kan uttrycka det inverterade värdet av zeta-funktionen med hjälp av Möbiusfunktionen μ(n) på följande sätt:

för varje komplext tal s med realdel > 1.

Se även Dirichlets betafunktion Dirichlets etafunktion Hurwitzs zetafunktion Riemannhypotesen Stieltjeskonstanter

Referenser Noter

Allmänna källor

Innehåller en engelsk översättning av Riemannss artikel.

(Globalt konvergent serieutveckling.)

Chapter 6.

. I Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Återutgiven av Dover, New York (1953).

E.T. Whittaker och G.N. Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press (Chapter XIII).

Externa länkar

Kategori:Analytisk talteori Kategori:Zeta- och L-funktioner