thumb|240px|Feynman-diagram som bidrar til elektronets magnetiske moment i laveste orden av perturbasjonsteori. Perturbasjonsteori benyttes i kvantemekanikk og kvantefeltteori for å komme frem til approksimative svar på beregninger som ikke lar seg gjennomføre på en eksakt måte. Fremgangsmåten er basert på forskjellige metoder som har det til felles at nøyaktigheten til resultatet kan systematisk forbedres, men krever en tilsvarende stadig større beregningsinnsats.

Elektronets magnetisk moment er beregnet i kvanteelektrodynamikk ved bruk av perturbasjonsteori med en nøyaktighet som tilsvarer 1 til 1010. Dette er det mest presise resultat som noensinne er oppnådd i fysikk.

Fremgangsmåten har sine røtter i klassisk himmelmekanikk om planetenes bevegelser der Keplers lover gjorde det mulig å beregne eksakt hvordan én planet beveget seg alene i Solens gravitasjonsfelt. Ved en nøyaktigere beskrivelse må man også ta hensyn til at planetene påvirker hverandre med en mye svakere gravitasjonskraft. Denne sies å forstyrre eller «perturbere» den frie bevegslen, men forandringen kan beregnes så lenge denne perturbasjonen er liten.

De fleste kvantemekaniske problem kan ikke løses eksakt. Men mange ganger kan man likevel finne et lignende og enklere system som er løsbart. Hvis forskjellen mellom dette og det opprinnelige systemet er liten nok, kan man ved perturbasjonsteori finne tilnærmete resultat for egenskapene til det kompliserte problemet.

Ved beregning av det magnetiske momentet til elektronet, antar man først at man kan se bort fra dets kobling til fotoner. Da finner man det største bidraget fra løsningen av Dirac-ligningen for ett elektron. Korreksjonene som er forårsaket av det kvantiserte strålingsfeltet, er små og kan så systematisk beregnes.

Oversikt

Egenskapene til et kvantemekanisk system kan finnes fra løsninger av Schrödinger-ligningen. Den er bestemt av systemets Hamilton-operator som innneholder de variable som beskriver systemet. Er denne uavhengig av tiden, vil en løsning bety å finne eksakte verdier for alle egenverdiene til denne operatoren. De er systemets mulige, kvantiserte energier og bestemmer samtidig hvordan det utvikler seg med tiden. Men for de fleste, realistiske system lar disse seg ikke beregne eksakt. Med perturbasjonsteori kan approksimative verdier ofte finnes for disse størrelsene.

Hvis Hamilton-operatoren derimot varierer med tiden, vil systemet ikke ha noen stasjonære egentilstander, men hele tiden være under forandring. Det er da mindre opplagt hvordan perturbasjonsteori kan benyttes. Men hvis den ikke-konstante delen av operatoren virker bare i et begrenset tidsrom, vil perturbasjonsteori kunne benyttes til å beregne sannsynligheten for at systemet går over fra en stasjonær tilstand til en annen hvor de stasjonære tilstandene er definerte ved den konstante delen av Hamilton-operatoren. D.J. Griffiths, Quantum Mechanics, Pearson Education International, Essex (2005). ISBN 1-292-02408-9.

Kvantemekanisk perturbasjonsteori kan derfor deles opp i to hovedklasser. I det statiske tilfellet kan man beregne egenverdier for systemets energi som ikke forandrer seg med tiden. Men når Hamilton-operatoren varierer med tiden, finnes ikke slike permanente egenverdier. Man må da benytte tidsavhengig perturbasjonsteori. Dette er for eksempel tilfelle for problemer som omhandler kollisjoner mellom partikler og er mest benyttet ved anvendelser av kvantefeltteori. B.H. Bransden and C.J. Joachain, Quantum Mechanics, Prentice Hall, New York (2000). ISBN 978-0-582-35691-7.

Konstante perturbasjoner

Når den fulle Hamilton-operatoren for systemet ikke er eksplisitt avhengig av tiden, sies den å være konstant selv om den inneholder dynamiske variable som varierer med tiden. Hvis den i tillegg kan splittes opp i to deler

der den siste delen er mindre viktig, sier man at denne utgjør en konstant perturbasjon av systemet som tilhører Denne Hamilton-operatoren beskriver et enklere system, og man kan anta at dens egentilstander og tilsvarende egenverdier kan beregnes. Det vil si at den tidsuavhengige Schrödinger-ligningen

kan løses. Derimot kan ikke egentilstandene og de tilhørende egenverdiene til Schrödinger-ligningen

finnes. Med antagelsen av at effekten av perturbasjonen er liten, forventes også at energidifferansene er små. Likedan bør de «vekselvirkende» tilstandene ikke bli så forskjellige fra de «frie» tilstandene Hvis dette ikke er tilfelle, kan ikke betraktes som en perturbasjon.

Da egentilstandene til Hamilton-operatoren utgjør et fullstendig sett, kan man allltid skriive en vilkårlig tilstand

hvor koeffisientene Man forventer derfor at i grensen der samtidig som at når

Første ordens korreksjon

Hvis man projiserer den vekselvirkende Schrödinger-ligningen på den frie tilstanden kan man skrive resultatet som

Her kan man på venstre side benytte at begge tilstandene der er egentilstander for hver sin Hamilton-operator. Det gir

Når er derfor koeffisientene

I tillegg får man når at

Ut fra denne formen for energidifferansen er det hensiktsmessig å normalisere den perturberte tilstanden slik at matriseelementet Det gir det generelle resultatet

for de perturberte energiene.

Man kan nå benytte antagelsen om at perturbasjonen er liten. Da kan den perturberte tilstanden skrives som hvor de prikkete korreksjonsleddene antas å være små. Til laveste orden i perturbasjonen har man da at

Dette sies å være resultatet for denne størrelsen til første orden da det er proporsjonalt med første potens av perturbasjonen.

Eksempel

Alle egenskaper til en kvantisert harmonisk oscillator kan beregnes eksakt. Når dette spesielle potensialet forandres litt, kan man finne korreksjoner til disse resultatene ved bruk av perturbasjonsteori. Dette kan enklest illustreres for grunntilstanden til oscillatoren. Den har den eksakte, uperturberte verdien når ω  er dens vinkelfrekvens. I en koordinatbasis er den tilsvarende , normerte egenfunksjonen

der m  er oscillatorens masse.

Som et eksempel kan man betrakte det perturberende potensialet V = λx4 hvor λ er en liiten parameter. Til første orden blir nå forandringen i grunntilstandsenergien

Integralet her er et utvidet Gauss-integral som kan uttrykkes ved gammafunksjonen som Γ(5/2) = . Dermed blir forandringen av dette laveste energinivået

til første orden i perturbasjonen. På tilsvarende måte kan man finne forskyvningen av høyere energinivå. Beregningen er da spesielt enkel å utføre ved bruk av oscillatorens stigeoperatorer. R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, Plenum Press, New York (1982). ISBN 0-306-40397-8.

Andre ordens korreksjon

Noen ganger er første ordens resultat null eller man ønsker seg bedre nøyaktighet. Da må man gå till andre ordens perturbasjonsteori som betyr å ta med første ordens korreksjon till den perturberte tilstanden Fra det tidligere kravet at har man da

som er korrekt til første orden i perturbasjonen. Av samme grunn har man derfor

Dette resultatet kan nå benyttes direkte i den generelle formelen til å gi den perturberte energien

Den er nå gyldig til andre orden. Korreksjoner av enda høyere orden kan systematisk beregnes på samme vis.

Eksempel

Høyere ordens korreksjoner innebærer summasjoner over alle tilstandene til systemet. Det dette antallet vanligvis er uendelig stort, vil dette være beregningsmessig vanskelig. Derimot for det enkleste system med bare to tilstander, kan man lett illustrere en beregning til andre orden. For eksempel kan man betrakte et slikt system hvor den frie delen er gitt ved en Hamilton-operator som på matriseform er

mens perturbasjonen er

De to egenverdiene til er og med ortonormerte egenvektorer

For å finne første ordens korreksjoner behøver man matriseelementene og Til denne orden er derfor de perturberte energiene og

Mer nøyaktige resultat forventes til andre orden. Da behøver man også matriseelementet Det gir nå

og

Denne korreksjonen er derfor liten. Med. samme nøyaktighet kan man nå også finne de tilsvarende egentilstandene.

I dette enkle eksemplet kan man finne eksakte løsninger for de samme størrelsene. Den totale Hamilton-operatoren er gitt ved matrisen

med egenverdier og Resultatene i andre ordens perturbasjonsteori har derfor en nøyaktighet som tilsvarer omtrent 5 %. Hva som kreves av perturbasjonen for at denne fremgaøngsmåten skal gi så gode resultat, er vanskelig å besvare. A. Messiah, Quuantum Mechanics, Volume II, North-Holland Publishing Company, Amsterdam (1962).

Degenerasjon

Andre ordens perturbasjonsteori bryter sammen hvis noen av tilstandene man summerer over, har samme energi som den tilstanden man betrakter. Slike tilstander sies å være degenererte og opptrer ofte i forskjellige sammenhenger. For eksempel, en partikkel som beveger seg i et sentralsymmetrisk potensial, vil ha energier som avhenger av dens kvantiserte dreieimpuls gitt ved kvantetallet ℓ. Men de er uavhengig av det magnetiske kvantetallet m som angir retningen til dreieimpulsen. Dermed inneholder hvert energinivå 2ℓ +1 tilstander med samme energi, men forskjellige verdier av m.

Igjen kan man betrakte en tilstand med energi som er den samme for i alt g lignende tilstander. På grunn av perturbasjonen kan nå forandringen av denne skrives som

hvor tilstanden er ortogonal til de g degenererte tilstandene. Nå skal være en egentilstand til den totale Hamilton-operator med egenverdi Til første orden i perturbasjonen har man derfor

Ved å projisere denne ligningen på en av de degenererte tilstandene vil første ledd ikke bidra da ut fra definisjonen av en slik tilstand. Bidraget fra det andre leddet kan dermed skrives som

etter å ha definert matriseelementene Dette utgjør et homogent, lineært system med g ligninger for de ukjente koeffisientene as. Ikke-trivielle løsninger finnes da bare når determinanten

Denne ligningen har g røtter som er resultatet for energiforskyvningene Noen av dem kan fortsatt være sammenfallende. Dette gir en oppsplitting av det degenererte energinivået i maksimalt g nye nivå.

I praksis kan mye av beregningsarbeidet i dette tilfellet reduseres ved å velge basistilstander som er spesielle lineærkombinasjoner av de degenererte tillstandene. Matrisen kan på den måten gjøres mest mulig diagonal før dens egenverdier bestemmes fra determinanten..

Tidsavhengig perturbasjonsteori

En generell tilstand for systemet kan for hvert tidspunkt t  alltid utvikles i egentilstander til den frie Hamilton-operatoren med egenverdier Ved tiden t 0 har man derfor

hvor kvadratet av amplitudene er sannsynligheten for å finne systemet i tilstanden I det spesielle tilfellet at perturbasjonen er systemet ved et senere tidspunkt nå beskrevet av tilstandsvektoren

Sannsynligheten for å finne systemet ved denne tiden i tilstand er derfor fremdeles det vil si den samme som ved tiden . Hvis systemet er i en egentilstand til ved ett tidspunkt, er det i den samme egentilstanden ved et senere tidspunkt. Det sies å være stasjonært uten overganger mellom slike tilstander. J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Benjamin Cummings Publishing Company, Menlo Park CA (1985). ISBN 0-8053-7501-5.

Overgangsamplituder

Når dette systemet er utsatt for en perturbasjon er tidsutviklingen av tilstandsvektoren styrt av den totale Hamilton-operatoren Den vil da bli ganske annerledes enn for men kan likevel formelt skrives på formen

Det betyr at sannsynligheten for at systemet befinner seg i tilstand varierer med tiden. Hvis systemet er i en bestemt tilstand ved tiden , har det en viss sannsynlighet for å bli funnet i en helt annen tilstand ved et senere tidspunkt. Disse koeffisientene kalles derfor i denne sammenheng for «overgangsamplituder». Da perturbasjonen antas å være tilstrekkelig svak, er det å forvente at tidsvariasjonen til disse amplitudene er mye langsommere enn svingningene gitt ved de frie egenverdiene som opptrer i eksponensialfunksjonene. E. Merzbacher, Quantum Mechanics, John Wiley & Sons, New York (1961).