thumb|240px|Halv-klassisk bilde av kvantisert dreie-impuls med kvantetall j = 2. Den kan da peke i fem forskjellige retninger i forhold til z-aksen.
Kvantisert dreieimpuls gir observerbare verdier og egenskaper til dreieimpulsen for en partikkel eller et mer generelt system når den eller det beskrives kvantemekanisk. Resultatene er gyldige både for dreieimpuls som skyldes orbital bevegelse i det tredimensjonale rommet og for indre spinn til elementærpartikler.
Klassisk er dreieimpulsen for en partikkel i posisjon r og med impuls p gitt ved vektorproduktet og kan ha en vilkårlig retning i rommet. Kvantemekanisk går de to dynamisk variable over til å bli tilsvarende operatorer som tilsammen inngår i dreieimpulsoperatoren
Kvantiseringen medfører at dens størrelse er gitt ved et kvantetall som kan ta verdiene j = 0, 1/2, 1, 3/2 og så videre. Den kvantiserte vektoroperatoren vil da bare kunne peke i 2j + 1 forskjellige retninger i rommet. Man sier derfor noen ganger at dreieimpulsen er «romlig kvantisert».
Egenfunksjonene til dreieimpulsoperatoren for heltallige verdier av kvantetallet j er sfærisk harmoniske funksjoner. De varierer kontinuerlig med retningen i rommet og bestemmer i stor grad egenskapene til atom og molekyl samt deres kjemiske bindinger. For elementærpartikler kan ikke dreieimpulsen knyttes til noen bevegelse i rommet og omtales derfor vanligvis som spinn. Av fundamental betydning er partikler med spinnkvantetall j = 1/2 som leptoner og kvarker. De beskrives generelt ved Dirac-ligningen som automatisk inneholder deres spinn. Det opptrer her som en direkte konsekvens av Einsteins spesielle relativitetsteori.
Grunnlag
Allerede i sitt første, felles Dreimännerarbeit som la det formelle grunnlaget for kvantemekanikken høsten 1925, kvantiserte Born, Heisenberg og Jordan dreieimpulsen for en partikkel. Det var basert på bruk av den kanoniske kommutatoren
hvor ħ er den reduserte Planck-konstanten, og som Heisenberg hadde kommet frem til om sommeren samme år. Her angir indeksen a de tre komponentene til posisjonsoperatoren På tilsvarende vis skrives da impulsoperatoren Denne fundamentale kommutatoren betyr at de tre komponentene
til dreieimpulsoperatoren heller ikke vil kommutere med hverandre. For eksempel blir
På samme måte finner man og De tre komponentene opptrer på en syklisk symmetrisk måte. Man kan derfor sammenfatte dem i ett uttrykk ved bruk av Levi-Civita-symbolet. Det kan også benyttes i vektorproduktet slik at komponentene til dreieimpulsoperatoren kan skrives som når man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over de to parene med like indekser på høyre side. De tre kommutatorene mellom disse komponentene kan nå oppsummeres i den ene ligningen Den inneholder all informasjon som behøves for kvantisering av dreieimpulser. R.L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics, Pearson Education, New Jersey (2003). ISBN 0-8053-8714-5.
Egenverdier
I kvantemekanikken kan egenverdiene til to operatorer bare bestemmes samtidig når de kommuterer med hverandre. Derfor kan kun egenverdiene til én av dreieimpulsens komponenter beregnes. Men størrelsen av den totale dreieimpulsen gitt ved operatoren
kommuterer med alle komponentene,
da leddet i parentes på høyre side er symmetrisk i sine to indekser. Den totale dreieimpulsen kan derfor bestemmes sammen med egenverdiene til én av dens komponenter. Denne velges vanligvis alltid å være langs en tenkt z-akse. D.J. Griffiths, Quantum Mechanics, Pearson Education International, Essex (2005). ISBN 1-292-02408-9.
Hvis man nå kaller egenverdiene for disse to kommuterende operatorene for λ og μ, vil kvantiseringen bestå i å bestemme deres felles egenvektorer , det vil si løse ligningene
Da operatoren alltid vil gi en verdi som er positiv eller null, må de to egenverdiene oppfylle betingelsen De kan beregnes rent algebraisk ved å innføre et par stigeoperatorer som ved kvantisering av en harmonisk oscillator. Stigeoperatorer
Istedenfor de to komponentene og er det hensiktsmessig å innføre lineærkombinasjonene
Da er produktet
På samme måte blir
som gir differansen
Kommutatoren mellom og de to andre komponentene er nå erstattet med
Dette betyr at når virker på en egentilstand til vil dennes egenverdi forandres til
Det er derfor naturlig å kalle for en «heveoperator» da den øker egenverdien til . På samme måte ser man at virker som en «senkeoperator» da den reduserer denne egenverdien like mye. Da disse forandringene er ±ħ, er det praktisk å måle størrelsen til komponentene av dreieimpulsen i enheter av denne konstanten. Skriver man μ = ħm, vil m være et dimensjonløst kvantetall.
Egenvektorer De to operatorene er eksempel på stigeoperatorer. Deres effekt på egentilstandene for dreieimpulsen kan sammenfattes i egenskapene
Men man kan ikke øke kvantetallet m for mye da man hele tiden må oppfylle betingelsen Det må derfor finnes en spesiell, «høyeste tilstand» definert ved at Anvendes her senkeoperatoren på denne, får man
som dermed gir det viktige resultatet for størrelsen av den totale dreieimpulsen.
Her kan verdien av j være et vilkårlig, positivt reelt tall. Men det kan bestemmes ved anvendelse av senkeoperatoren på den høyeste tilstanden. Gjentas dette n ganger, vil man komme til en tilsvarende, «laveste tilstand» som ikke kan senkes mer på grunn av det samme kravet som definerte den høyeste tilstanden. Da er som betyr at
Benyttes her resultatet for egenverdien λ uttrykt ved kvantetallet j, finner man at
Dets mulige verdier følger derfor fra 2j (n + 1) = n(n + 1) eller 2j = n hvor heltallet n = 0, 1, 2 og så videre. Kvantetallet som bestemmer størrelsen av dreieimpulsen, kan derfor kun anta verdiene j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2 etc.
Egenvektorene til dreieimpulsoperatoren kan nå karakteriseres ved de to kvantetallene j og m. Dette siste, «magnetiske kvantetallet» kan anta verdiene m = (j, j - 1, j - 2, ..., -j + 1, -j ) og kan tenkes å beskrive de 2j + 1 forskjellige retninger som dreieimpulsvektoren kan ha i et halv-klassisk bilde av denne operatoren.
Resultatet av kvantisering kan nå summeres opp ved
som gjelder for både heltallige og halvtallige verdier av kvantetallet j.
Normering
Praktiske beregninger med kvantisert dreieimpuls er enklere når egenvektorene har en bestemt normering. Da de står ortogonalt på hverandre i Hilbert-rommet, velges denne vanligvis å være
Vektorene sies da å være ortonormerte. Virkningen av en heveoperator kan skrives som hvor koeffisienten sørger for at normeringen blir opprettholdt under operasjonen. Den kan bestemmes fra normeringsbetingelsen som betyr at Ved å benytte det tidligere resultatet for produktet av de to stigeoperatorene, er dens absolutte størrelse gitt. Sammen med en tilsvarende betraktning rundt virkningen av en senkeoperator, har man dermed at
når man velger det positive fortegnet for kvadratroten.
Kombinert med den tilsvarende virkningen av på den samme egenvektoren, kan man nå representere disse tre operatorene ved matriser med komponenter
Hver slik matrise vil ha en dimensjon (2j + 1) × (2j + 1). I det enkleste tilfellet er j = 1/2 hvor de kan uttrykkes ved 2 × 2 Pauli-matriser. For j = 1 finner man
mens er en diagonal matrise med egenverdiene +ħ, 0, -ħ langs denne. I dette spesielle tilfellet kan de samme matrisene finnes fra klassiske rotasjoner av en vanlig vektor i det tredimensjonale rommet. E.S. Abers, Quantum Mechanics, Pearson Education, New Jersey (2004). ISBN 0-13-146100-1.
Egenfunksjoner
Ved å benytte en sett med basisvektorer i det abstrakte Hilbert-rommet for kvantisert dreieimpuls kan egenvektorene representeres ved kontinuerlige bølgefunksjoner. Mest vanlig er det å benytte egenvektorene til posisjonsvektoren som basis. For alt som har med rotasjon å gjøre er det naturlig å beskrive denne med kulekoordinater slik at de kartesiske komponentene blir og Egenfunksjonen for en egentilstand av dreieimpulsoperatoren kan da defineres som
De tre operatorene blir på denne måten derivasjonsoperatorer. De kan finnes fra når impulsen erstattes med som den gjør i Schrödinger-ligningen. På denne måten tar operatorene den konkrete formen
Da ketvektoren er en egentilstand for vil denne egenskapen nå ta formen
Herfra følger at bølgefunksjonene må ha en variasjon med de to vinklene som kan skrives som
hvor funksjonen foreløbig er ubestemt. Men variasjonen med den asimutale vinkelen φ er éntydig.
Sfærisk harmoniske funksjoner Et makroskopisk objekt som roteres 360° eller 2π radianer om en akse, vil komme tilbake til sin opprinnelige. stilling. Den tilsvarende bølgefunksjonen må derfor være den samme for φ = 0 som for φ = 2π. Et slikt objekt må derfor ha et asimutal kvantetall m som er heltallig. Det betyr igjen at kvantetallet j også må ha slike verdier. For slik orbital bevegelse. er det derfor vanlig å angi det med symbolet ℓ som da tar verdiene ℓ = 0, 1, 2, 3 og så videre. De tilsvarende egenfunksjonene skrives nå som og kalles for sfærisk harmoniske funksjoner.
Funksjonen yℓm(θ) kan finnes ved bruke senkeoperatoren på den høyeste egenvektoren Dens bølgefunksjon finnes fra definisjonen Den gir differensialligningen
med løsningen . Den fulle bølgefunksjonen for denne tilstanden er derfor
hvor er en normeringskonstant. Den bestemmes fra eller
for m = m' = ℓ. Benytter man da integralet M. Abramowitz and I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York (1972).
finner man for normeringskonstanten verdien
hvor fortegnet er konvensjonelt bestemt.
Ved å anvende senkeoperatoren på den høyeste egenfunksjonen, kommer man frem til den generelle egenfunksjonen
Dette kan forenkles ved å gjøre bruk av at
slik at det endelige resultatet for disse egenfunksjonene blir
I det spesielle tilfellet at m = 0 har man dermed at
kommer ut med konvensjonelt riktig fortegn når funksjonene reduseres til Legendre-polynom. J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, The Benjamin/Cummings Publishing Company, Menlo Park CA (1985). ISBN 0-8053-7501-5.
Spinn-1/2
Når den kvantiserte dreieimpulsen har et halvtallig kvantetall j, kan den ikke skyldes noen vanlig rotasjon i vårt tredimensjonale rom. Den blir da vanligvis omtalt som spinn og er en egenskap ved elementærpartikler. De sies å være «punktpartikler» fordi alle observasjoner viser at de ikke har noen utstrekning. Av den grunn kan de heller ikke ha noen indre rotasjon og derfor en orbital dreieimpuls. Spinn til en partikkel kan føres tilbake til Einsteins spesielle relativitetsteori. For å skille det fra orbital dreieimpuls L, betegnes det vanligvis med symbolet S med et tilsvarende kvantetall s. Det enkleste eksempel er elektronet som har s = 1/2 og er beskrevet ved Dirac-ligningen. J.J. Brehm and W.J. Mullin, Introduction to the Structure of Matter, John Wiley & Sons, New York (1989). ISBN 0-471-61273-1.
Kommutatorene for de tilsvarende spinnkomponentene er de samme som for dreieimpulsen og egentilstandene tilfredsstiller
hvor det magnetiske kvantetallet tar (2s + 1) forskjellige verdier mellom +s og -s. For en partikkel med s = 1/2, er det derfor bare to egenvektorer med m = ±1/2. De omtales ofte som om at spinnet er oppeller ned langs en tenkt z-akse og betegnes i litteraturen på forskjellig vis, for eksempel
Det finnes ikke noe koordinatrom som nå kan benyttes til å finne tilsvarende egenfunksjoner. Men spinnoperatorene og egentilstandene kan representeres ved 2 × 2 matriser.
Spinorer
En partikkel med spinn s = 1/2, kan være i en vilkårlig spinntilstand
som er en superposisjon av to egentilstander. De to komponentene er gitt ved som i alminnelighet er komplekse tall. Sammen utgjør de en kolonnematrise
som kalles en spinor. Det er i motsetning til en vektor som har tre komponenter i det tredimensjonale rommet. Egenvektorene kan nå representeres ved basisspinorene
slik at en generell spinntilstand kan skrives som Dette er en slags diskret bølgefunksjon.
På samme måte kan operatorene representeres ved 2 × 2 matriser med komponenter