thumb|Harmonisk oscillasjon av en masse påvirket av en elastisk fjær. En harmonisk oscillator er i fysikken et svingende system der den tilbakeførende kraften er proporsjonal med avviket fra systemets likevektsposisjon.
Kjente eksempel er et svingende lodd hengende i en fjær eller en pendel som går frem og tilbake. Svingningen sies å være harmonisk når den er beskrevet ved en sinuskurve med en konstant periode. En slik ideell bevegelse spiller en meget viktig rolle i klassisk mekanikk, elektriske kretser og i kvantemekanikken.
Selv om perioden til bevegelsen er konstant, behøver ikke bevegelsen være harmonisk. For eksempel vil en pendel med et stort utsving, ha en bevegelse som ikke er beskrevet ved en sinus-funksjon, men derimot ved en elliptisk funksjon. Dette kalles vanligvis for en matematisk pendel og er et eksempel på en «ikke-harmonisk» oscillator. Bevegelsen vil være uharmonisk.
I mange tilfeller vil perioden til oscillasjonen ikke være konstant, men derimot øke med tiden. For et mekanisk system vil dette skyldes friksjon eller luftmotstand. Oscillatoren sies da å være «dempet». Den kan også være påvirket av ytre krefter og er da «drevet». Hvis den ytre kraften varierer i takt med svingningen til oscillatoren, kan man få resonans.
Den harmoniske bevegelsen kan skje i mer enn en dimensjon. En pendel kan for eksempel bevege seg langs en kjegle i stedet for i et plan. Den kalles da for en todimensjonal harmonisk oscillator. I fysikken finnes det mange eksempel på tredimensjonale oscillatorer som mange ganger også kan være koblet sammen med hverandre.
I kvantemekanikken spiller den harmoniske oscillator en overraskende viktig rolle. Det skyldes først og fremst at den representerer et av meget få mekaniske system hvis bevegelse kan eksakt beregnes kvantemekanisk på en enkel måte. Denne kan derfor benyttes som utgangspunkt til å gi tilnærmede beskrivelser av andre kvantesystem som ikke har eksakte løsninger. Men denne oscillatoren er også selve grunnelementet for all kvantefeltteori da alle frie kvantefelt kan beskrives som bestående av en uendelig sum av slike sammenkoblede, tredimensjonale harmoniske oscillatorer. Kjennskap til én kvantisert harmonisk oscillator gjør det da mulig å beregne alle egenskaper til kvantefeltet.
Anvendelser Den harmoniske oscillatoren er et viktig eksempel i fysikkundervisning siden likningene er forholdsvis lett håndterlige og gir en forståelse for oscillasjoner som kan relateres til hverdagslige fenomener.
Spenningen i det norske strømnettet er ett eksempel på en størrelse som oscillerer harmonisk. Amplituden er på cirka 320 volt (med en effektivverdi av 230 volt), og frekvensen er 50 Hz. Gamle pendelur gjør seg bruk av det faktum at svingeperioden til pendelen er essensielt uavhengig av utslaget, så lenge utslaget er lite. Dette gjør at en klokke-eier slipper å tenke på hvor mye hen trekker pendelen ut til sida.
Matematisk beskrivelse thumb|right|300px|Tidsforløpet av en harmonisk svingning beskriver en sinuskurve med en viss amplitude, periode og faseforskyvning. La oss tenke oss en partikkel eller gjenstand med masse m som kan bevege seg uten friksjon i en retning under påvirkning av en kraft F. Denne kan for eksempel skyldes en fjær. Strekkes denne et stykke x fra sin likevektsposisjon, vil den prøve å trekke massen tilbake til denne. I det enkleste tilfellet er kraften i fjæren beskrevet ved Hookes lov som sier at hvor k er fjærkonstanten. Minustegnet tilsvarer at kraften virker i retning mot likevektsposisjonen.J.R. Lien og G. Løvhøiden, Generell fysikk for universiteter og høyskoler, Bind 1, Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 9788215000053. Bevegelsen til massen er gitt ved Newtons andre lov som her betyr at
Dette er en differensialligning av andre orden. Løsningen vil derfor i alminnelighet inneholde to konstanter som må bestemmes ut fra grensebetingelser. Ofte velges de å være posisjon og hastighet ved et gitt tidspunkt og kan uttrykkes ved en amplitude A og fasefaktor φ. Dermed kan den generelle løsningen skrives på formen
Settes dette inn i differensialligningen, finner man at
som er vinkelfrekvensen. Den gir også perioden til den sinusformete bevegelsen hvor den vanlige frekvensen . Oscillatoren svinger desto raskere når massen blir mindre og fjærkonstanten større.
Fasefaktoren forteller i hvilken posisjon den starter i og amplituden er maksimalt utslag. For en fjær som trekkes og slippes ved tiden t = 0, er φ = 0 og A er posisjonen den slippes fra. Hvis grensebetingelsene i stedet er at den starter i posisjon ved tiden , men med en hastighet , ville og amplituden .
Energier Den kinetiske energien til oscillatoren er
når man skriver hastigheten som . Tilsvarende er den potensielle energien
Dermed er den totale, mekaniske energien
er konstant. Den avhenger av amplituden A og fjærkonstanten k, men er uavhengig av massen til den oscillerende partikkelen. Under sin bevegelse svinger energien fra å være ren stillingsenergi i de to ytterpunktene og ren bevegelsesenergi i midtpunktet mellom disse.
Løsning av bevegelsesligning thumb|280px|Oscillatoren svinger rundt likevektspunktet x = 0. Differensialligningen som beskriver bevegelsen til oscillatoren, kan skrives som
Den vil i alminnelighet ha flere løsninger. Hvis x1(t ) er en løsning og x2(t ) er en annen løsning, så vil også summen (eller «superposisjonen») være en løsning hvor a og b er vilkårlige konstanter. Ligningen sies derfor å være lineær med x1(t ) og x2(t ) som delløsninger.
Slike delløsninger av en lineær differensialligning finnes på enkleste måte ved å anta at de kan skrives som en eksponensialfunksjon.M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1. Da er hvor foreløbig størrelsen α er ukjent. Settes denne antagelsen inn i ligningen, finner man
Denne er kun oppfylt når α = ±iω hvor i = √-1 er den imaginære enhet. Derfor er den generelle løsningen av differensialligningen
Da koordinaten x er et reelt tall, må de to integrasjonskonstantene a og b være komplekskonjugerte av hverandre. Ved å benytte Eulers formel for eksponensialfunksjonene, kan løsningen skrives på formen
etter å ha erstattet de to opprinnelige integrasjonskonstantene med to andre, reelle konstanter B og C. Alternativt kan nå dette skrives på den opprinnelige formen når man innfører og og gjør bruk av den trigonometriske identiteten for cosinus til en differanse av to vinkler. Maksimalt og minimalt utslag er henholdsvis og .
Andre utledninger Differensialligningen som beskriver bevegelsen til oscillatoren, kan finnes på andre måter som ved bruk av Lagrange-mekanikk eller Hamilton-mekanikk.H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, New York (1959). Men den enkleste måten tar utgangspunkt i at den totale energien
er konstant. Den deriverte med hensyn på tiden er derfor null slik at
hvor er den dobbeltderiverte av x. For at denne ligningen skal være oppfylt, må enten eller at innholdet i parentesen er null. Det første alternativet er uinteressant da den betyr at partikkelen har null hastighet og derfor ligger i ro. Men den andre betingelsen betyr at ligningen
må være oppfylt. Den er den samme som tidligere funnet og kalles vanligvis for svingeligningen for vinkelfrekvens ω. Det er den fundamentale bevegelsesligningen for den harmoniske oscillator.
Dempet oscillator thumb|300px|Eksempel på de tre typene av dempete svingninger. Her er friksjonskonstanten γ = ζω0. I praksis vil en harmonisk oscillator være utsatt for friksjon. Denne vil bevirke at hastigheten blir redusert eller «dempet» slik at utslagene blir mindre og mindre og til slutt dør helt ut. Ofte kan denne friksjonskraften antas å være proporsjonal med hastigheten. Dermed blir bevegelsesligningen for oscillatoren forandret til
hvor b er friksjonskonstanten. Friksjonskraften er ikke konservativ, og en dempet oscillator i bevegelse vil alltid ende opp i ro ved at dens energi E er gått over i friksjonsvarme. Det følger fra
hvor leddet på høyre side alltid er negativt. Energien avtar derfor med tiden uansett hvordan oscillatoren beveger seg.V. Barger and M. Olsson, Classical Mechanics: A Modern Perspective, McGraw-Hill Co., New York (1994). ISBN 0-07-003734-5.
Skriver man den som b = 2mγ, tar ligningen for den dempete oscillatoren standardformen
hvor nå ω0 = √(k/m) er vinkelfrekvensen for den udempete svingningen. Det er fremdeles en differensialligning av andre orden slik den generelle løsningen vil igjen involvere to integrasjonskonstanter.
Den nye bevegelsesligningen er lineær og kan igjen løses ved antagelsen . Da må den ukjente størrelsen α oppfylle
Denne andregradsligningen har i alminnelighet to løsninger som er
De fysiske egenskapene til løsningene avhenger av hvor stor friksjonskoeffisienten γ er i forhold til egenfrekvensen ω0. Man finner dermed tre kategorier av dempete svingninger.
Overdempning
Når γ > ω0 er begge verdiene for α negative. Den generelle løsningen for bevegelsen er da
hvor igjen A og B er konstanter og
Hvis oscillatoren starter med null hastighet, beveger den seg langsomt tilbake mot likevektspunktet som den først når etter uendelig lang tid.
Kritisk dempning
I det meget spesielle tilfellet at γ = ω0 faller de to løsningene for α sammen. Dempningen er da «kritisk». Det kan da se ut til at det bare er en løsning med . Men det vises lett at nå er også en løsning. Derfor er den generelle løsningen i dette kritiske tilfellet
Igjen er det ingen oscillasjoner i bevegelsen. Men hvis den starter med null hastighet, kan den i dette tilfellet bevege seg litt forbi likevektspunktet før utslaget langsomt går mot null. Dette avhenger av det relative forholdet mellom konstantene A og B.
Underdempning thumb|280px|En underdempet svingning hvor amplituden blir langsomt mindre. Når dempningen er svak, vil γ < ω0 og begge løsningene for α er komplekse tall. Skrives disse som
,
kan den generelle løsningen i dette tilfellet med «underdempning» skrives som
Dette er en harmonisk svingning med en litt redusert frekvens
og en amplitude som blir mindre med tiden på grunn av den eksponentielle dempningsfaktoren i løsningen.
Hvis man betrakter det generelle tilfellet at oscillatoren starter i posisjon x0 med hastighet v0, kan de to konstantene A og B bestemmes. Da blir løsningen
Hvis dempningen nå øker slik at γ → ω0, vil frekvensen . Benytter man da at i denne grensen vil finner man derved den generelle løsningen for kritisk dempning.
Tvungen svingning
Av stor praktisk og teoretisk betydning er forståelsen av hvordan en dempet oscillator beveger seg når den er påvirket av en ytre kraft F(t ) som varierer med tiden. Oscillatoren sies da å være «drevet» og vil utføre en tvungen svingning beskrevet ved bevegelsesligningen
Den er fremdeles en lineær, men inhomogen på grunn av leddet på høyre side. Generelt vil den ha mange forskjellige løsninger avhengig av tilstanden til oscillatoren når kraften begynner å virke. Betrakter man to forskjellige løsninger og vil da differensen oppfylle den homogene ligningen. Den er uavhengig av kraften, men bestemt av begynnelsesbetingelsene. Kalles dette en «homogen løsning» vil hver løsning av den fulle ligningen kunne skrives som
Her er én bestemt, «partikulær løsning» av den inhomogene ligningen. Når oscillatoren er dempet, vil den homogene løsningen etter en stund gå mot null. Derfor er den stabile tilstanden til en drevet oscillatoren gitt ved den partikulære løsningen, uavhengig av begynnelsesbetingelsene.