thumb|300px|Ved sirkelinversjon om O går punktet P til P' og omvendt. Sirkelinversjon er en transformasjon av hvert punkt i planet fra innsiden av en sirkel til et punkt på utsiden og omvendt. Det transformerte punktet har en avstand fra sirkelens sentrum som er omvendt proporsjonal med avstanden til det opprinnelige punktet fra dette senteret. Hvis sirkelen har radius r og sentrum i O, vil et punkt P bli transformert til et nytt punkt P' som dermed er gitt ved
hvor OP og OP' er avstandene til disse punktene fra sirkelens senter. Punktet P' sies å være invers til P og omvendt. Når linjen gjennom O og P skjærer sirkelen i punktene Q og Q' , vil P og P' være harmonisk konjugerte med disse to punktene.
For punkter nær sirkelen vil denne se tilnærmet ut som en rett linje. Sirkelinversjonen går da over til å bli en refleksjon eller speiling i denne linjen. Noen ganger kan geometriske problem som omhandler gjensidige forhold mellom linjer og sirkler, løses enklere etter en sirkelinversjon.
Transformasjonen forandrer linjer og sirkler til nye linjer eller sirkler. Det kan bevises rent geometrisk eller ved analytiske metoder. Ved å benytte koordinater i planet som tilsvarer komplekse tall, kan sirkelinversjon beskrives som en spesiell Möbius-transformasjon. Som alle komplekse transformasjoner i to dimensjoner gir denne en konform avbildning.
Transformasjonen kan også utvides til tre dimensjoner hvor den da vil tilsvare inversjon i en kuleflate. I motsetning til de fleste andre koordinattransformasjoner i høyere dimensjoner, gir en inversjon alltid en konform avbildning.
Noen egenskaper thumb|300px|Sirkler som ikke går gjennom origo, blir transformert til nye sirkler på den andre siden av inversjonssirkelen.
De fire karakteristiske egenskapene til en sirkelinversjon er:
Linjer gjennom O transformeres til linjer gjennom O. Linjer som ikke går gjennom O, blir transformert til sirkler som går gjennom O. Sirkler gjennom O transformeres til linjer som ikke går gjennom O. Sirkler som ikke går gjennom O, transformeres til sirkler som ikke går gjennom O.
Med enkle, geometriske betraktninger kan de forholdsvis lett bevises. At et punkt på en linje gjennom origo O blir transformert til et annet punkt på samme linje, følger direkte fra definisjonen.
Den andre egenskapen følger ved å betrakte punkter på en linje ℓ som man først kan anta ligger utenfor sirkelen. En ny linje gjennom origo vinkelrett på denne, har et et skjæringspunkt A med denne og et invers punkt A' innenfor sirkelen. Et annet punkt P på linjen ℓ har likedan et invers punkt P' . Nå er OA⋅OA' = OP⋅OP' = r 2. Derfor er trekantene OAP og OA'P' likedannede. Da de i tillegg er rettvinklete, vil punktet P' ligge på en sirkel gjennom O med linjestykket OA' som hypotenus. Dette er uavhengig av hvor på linjen ℓ punktet P er. R. Courant and H. Robbins, What is Mathematics?, Oxford University Press, New York (1996). ISBN 978-0-19-510519-3.
Mens denne betraktningen også beviser den tredje egenskapen, kan den siste egenskapen forklares ved å la en rett linje gjennom O skjære en annen sirkel med sentrum i M. De to skjæringspunktene A og B har inverse punkt A' og B' . På linjen OM kan nå et nytt punkt C bestemmes som skjæringspunktet med en linje gjennom A' og parallell med BM. Da blir linjestykkene A'C og B'C like store og uavhengig av den nøyaktige posisjonen til skjæringspunktene A og B. Det viser at alle punkt på sirkelen om M blir avbildet på en ny sirkel.
Harmonisk konjugasjon
Det inverse punktet P' ligger på en linje gjennom sentrum O og punktet P. Linjen skjærer inversjonssirkelen i to punkt Q og Q' som vil være harmonisk konjugerte med P og P' . Hvis man ser bort fra retningene til de forskjellige linjestykkene, betyr det at
Denne egenskapen følger fra å anta at P ligger innfor sirkelen i avstand x fra dens sentrum. Da er og fra definisjonen. Langs denne linjen er nå og . Dermed blir forholdet
som er akkurat likt med forholdet QP/PQ' . For tilfellet at punktet P ligger utenfor sirkelen, gjennomføres beviset på samme måte. A. Søgaard og R. Tambs Lyche, Matematikk for den høgre skolen II, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).
Disse sammenhengene betyr at inversjonssirkelen kan identifiseres med Apollonios-sirkelen for de to punktene P og P' . For hvert punkt X på sirkelen er forholdet XP/XP' mellom de tilsvarende avstandene alltid det samme.
Ortogonale sirkler
En sirkel som skjærer inversjonssirkelen med sentrum i O under en rett vinkel, sies å være en ortogonal sirkel til denne. Den har sitt sentrum i et punkt C og skjærer linjen OC i to punkt P og P' og inversjonssirkelen i to punkt T og T' . Da linjen gjennom O og T står vinkelrett på radius CT, er den en tangent til sirkelen om C. Potensen til punktet O med hensyn til denne sirkelen er derfor = r 2. Det betyr at de to punktene P og P' er inverse til. hverandre. Omvendt betyr det også at hvis man for to inverse punkt P og P' konstruerer en sirkel med PP' som diameter, vil denne stå vinkelrett på inversjonssirkelen. H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer, Geometry Revisited, Mathematical Association of America, Washington, DC (1967). ISBN 0-8838-5619-0.
Punktene T og T' ligger på inversjonssirkelen og vil derfor forbli uforandret under en slik transformasjon. Andre punkt på sirkelen om C vil derimot transformeres, men til nye punkt på den samme sirkelen. Hele denne ortogonale sirkelen vil derfor bli liggende i ro under en inversjon.
Konform avbildning
Det inverse bildet av en rette linje er en sirkel som går gjennom inversjonssenteret O. Ved å betrakte likedannede trekanter kan det vises at tangenten til bildesirkelen i dette punktet er parallell med linjen som avbildes. To sirkler som tangerer hverandre i O, vil derfor transformeres til to parallelle linjer ved inversjon.
To rette linjer som skjærer hverandre under en viss vinkel, vil dermed avbildes på to sirkler som skjærer hverandre i inversjonssenteret O. Hvis skjæringsvinkelen mellom sirklene defineres som vinkelen mellom deres tangenter i skjæringspunktet, vil denne derfor være den samme som vinkelen mellom de opprinnelige linjene. Samme egenskap kan vises å gjelde for skjæringsvinklene mellom to sirkler som transformeres til to andre sirkler. Den inverse transformasjonen er derfor et eksempel på en konform avbildning da skjæringsvinkler forblir uforandret.
Geometrisk konstruksjon
thumb|300px|Konstruksjon av inverse punkt P og P' relativt til sirkelen med senter i O. Linjen NN' er polaren til P.
Ved bruk av en passer og linjal kan det inverse punktet relativt til en gitt sirkel finnes ved en geometrisk konstruksjon. Det gitte punktet P kan ligge innenfor eller utenfor denne sirkelen med senter i O og radius r. I det spesielle tilfellet at det ligger på sirkelen, forblir P uforandret.
Når P ligger utenfor sirkelen, konstruerer man en ny sirkel med linjestykket OP som diameter. Den skjærer inversjonssirkelen i to punkt N og N' . Linjen gjennom disse to punktene skjærer linjen langs OP i et punkt P' som er det inverse punktet til P.
Grunnen til dette er at de to rettvinklete trekantene OPN and ONP er similære da de har to like store vinkler. Derfor er som viser at betingelsen for inversjon er oppfylt.
Da punktet P' er harmonisk konjugert med P, vil den rette linjen gjennom N og N' være polaren til punktet P med hensyn til inversjonssirkelen.
I det motsatte tilfellet ligger P innenfor sirkelen. Hvis nå en linje blir trukket gjennom dette punktet og vinkelrett på OP, vil den skjære sirkelen i to punkt N og N' . Det inverse punktet finnes nå ved å konstruere en ny sirkel som går gjennom de tre punktene O, N og N' . Der denne skjærer forlengelsen av linjen OP, ligger det inverse punktet P' . Det bevises på samme måte som i det første tilfellet.
Eksempel på bruk
thumb|right|300px|Den sykliske firkanten ABCD inverteres i den blå sirkelen med sentrum i firkantens hjørne D.
En firkant med alle sine hjørner på en sirkel, sies å være syklisk. For den gjelder Ptolemaios' sats som sier at produktet av lengdene til dens to diagonaler er lik med summen av produktene av lengdene til motstående sider. Hvis de fire hjørnene er A, B, C og D, vil derfor
Denne setningen kan bevises på flere måter, men spesielt enkelt er det å benytte sirkelinversjon. Man tenker seg da en sirkel med radius r og senter på et av hjørnene i firkanten slik at de tre andre hjørnene vil avbildes på en rett linje. Hvis for eksempel senteret er i D, vil A avbildes på et punkt A' med en slik avstand fra senteret at og tilsvarende for de andre bildepunktene B' og C' på samme linje.
Trekantene DAB og DB'A' er nå likeformede da de har en felles vinkel D med tilstøtende sider som står i samme forhold til hverandre. Det betyr at . Ved samme betraktning av trekantene DBC og DAC får man og . Siden , har man dermed at
Dette er nå beviset for Ptolemaios' sats da DC' /DB' = DB/DC.
Analytisk beskrivelse thumb|300px|Inversjon i den røde sirkelen. Til venstre trans-formeres to sirkler over i hverandre, mens på høyre side transformeres to sirkler gjennom origo til linjer. Ved bruk av kartesiske koordinater i planet vil hvert punkt bli avbildet på et invers punkt . Settes radius til inversjonssirkelen til å være , vil dermed koordinatene til disse to punktene være forbundet ved . Samtidig ligger punktene P og P' på samme linje fra origo O. Det betyr at . Inversjon i sirkelen har derfor den analytiske formen
Den inverse transformasjonen har samme form der (x,y) og (X,Y) byttes om. D. Pedoe, A Course of Geometry for Colleges and Universities, Cambridge University Press, London (1970). ISBN 0-521-07638-2.
Betrakter man en rett linje ax + by + c = 0, vil den etter en sirkelinversjon gå over til
Dette beskriver i alminnelighet en sirkel. Men i det spesielle tilfellet at c = 0, går linjen gjennom origo og den transformeres som forventet over i seg selv.
Når c ≠ 0, kan ligningen for den transformerte linjen skrives som
Denne analytiske beskrivelsen gir derfor både koordinatene for senteret til den resulterende sirkel samt dens radius uttrykt ved retningen til den gitte linjen.
Inversjon av en sirkel
En sirkel med radius r og sentrum i (x0,y0) er gitt ved ligningen . Den transformeres på samme måte til
Når k = x02 + y02 - r 2 ≠ 0, er resultatet derfor en ny sirkel. Ligningen som beskriver den, kan omformes til
som gir dens sentrum og radius.
I det spesielle tilfellet at k = 0 går den opprinnelige sirkelen gjennom origo (0,0), det vil si sentrum til inversjonssirkelen. Den transformeres da til en rett linje med ligningen i overenstemmelse med hva man også kan vise ved rene, geometriske betraktninger.
Inversjon av kurver right|thumb|300px|En symmetrisk hyperbel med sentrum i origo transformeres til en lemniskate. Deler av kurvene med samme farge går over i hverandre.
En generell kurve kan angis på den implisitte formen f(x,y) = 0. Under sirkelinversjonen (x,y) → (X,Y) vil ligningen dermed fremstille en ny kurve.
Som et eksempel kan man betrakte den symmetriske hyperbelen x 2 - y 2 = s 2 som skjærer x-aksen i punktene ±s. Ved inversjon i enhetssirkelen går den over til
Dette fremstiller en lemniskate som skjærer x-aksen i punktene ±1/s.
left|thumb|210px|Inversjon av parabelen i en sirkel i dens brennpunkt gir en kardioide.
Parabelen y 2 = 4a(x + a) har sitt brennpunkt i origo. Den skjærer x-aksen i punktet (-a,0) og og y-aksen i punktene (0,±2a). Når denne kurven inverteres i en sirkel med sentrum i origo og med radius , tar dens ligning i de nye koordinatene formen
Den beskriver en kardioide med spiss i origo og skjærer x-aksen i punktet (-4a,0).
Ved å uttrykke parabelen i polarkoordinater (r,θ) med sentrum i dens brennpunkt, blir denne transformasjonen bedre klarlagt. Ligningen for parabelen er da . Inversjon i sirkelen gir dermed en ny, polar koordinat som ganske enkelt blir
Dette er ligningen for kardioiden i polarkoordinater.