thumb|300px|right|En trekant på en hyperbolsk paraboloide avgrenset av geodetiske linjer. Differensiell flategeometri er den delen av geometrien som omhandler bestemmelse av lengder og areal på krumme flater. Historisk var det vanlig å betrakte en slik generell flate liggende i et euklidsk rom. De geometriske egenskapene til dette rommet gjør det da mulig å finne de tilsvarende egenskapene til flaten. På den måten vil en kurve i flaten kunne betraktes som en romkurve og benyttes til å undersøke flatens krumning.
Fra tidlig astronomi var det kjent hvordan man kunne konstruere en sfærisk geometri på en kuleflate. Rette linjer tilsvarer her storsirkler. Alle slike linjer vil derfor skjære hverandre og dermed ikke oppfylle parallellaksiomet. Denne flaten er symmetrisk og har konstant krumning. Hvordan man i det hele tatt kunne lage en tilsvarende geometri på en vilkårlig flate, var høyst usikkert.
Beskrivelsen av krumme flater ble grundig forbedret rundt 1825 da Carl Friedrich Gauss viste at de intrinsikke egenskapene til flaten kunne bestemmes kun ved målinger i selve flaten slik at de dermed var uavhengig av hvordan flaten plasseres i et ytre rom. Denne innsikten dannet grunnlaget for moderne, differensiell flategeometri. Noen tiår senere kunne Bernhard Riemann utvide betraktningsmåten til Gauss til å gjelde for mangfoldigheter med dimensjon større enn de to som en flate har. Dette åpnet opp for en systematiske utforskning av «krumme rom» som senere skulle bli det matematiske grunnlaget for Einsteins generelle relativitetsteori.
Flater i rommet
Avbilder man en endelig del av det todimensjonale planet E2 på det tredimensjonale, euklidske rommet E3, får man en flate i dette rommet. Hvis den aktuelle delen av planet har de kartesiske koordinatene (u,v), kan denne avbildningen gis ved posisjonsvektoren
for hvert punkt på flaten i E3 når man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over like, latinske indekser fra 1 til 3. Her er ei de kartesiske basisvektorene med det vanlige indreproduktet
uttrykt ved Kronecker-symbolet δij. For hver verdi av de to koordinatene (u,v) vil de tre funksjonene xk(u,v) gi et bestemt punkt på flaten. Det er derfor naturlig å kalle (u,v) for «de intrinsikke koordinatene» til flaten. Holder man v konstant og lar u variere, vil r(u,v) beskrive en kurve i flaten som det er naturlig å kalle en u-koordinatline. Omvendt vil denne vektoren beskrive en v-koordinatlinje når u holdes konstant og v varierer. Gjennom hvert punkt på flaten går det derfor to koordinatlinjer, hver min sin tangentvektor
I hvert slikt punkt danner disse et lokalt plan som er «tangentplanet» til flaten i dette punktet. R. Tambs Lyche, Matematisk Analyse Bind II, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1958).
Basisvektorer og metrikk
De to koordinatene u og v kan betraktes som krumlinjete koordinater xμ = (u,v) på flaten hvor greske indekser bare tar de to verdiene 1 og 2. En plan kurve i , i E2 vil nå avbildes på en kurve på flaten med tangentvektor M. R. Spiegel, Vector Analysis, Schaum's Outline Series, New York, (1959).
hvor nå
kan betraktes som basisvektorer på flaten og dxμ/dλ er de to komponentene til kurvens tangentvektor i denne basisen. Den kvadrerte lengden av denne vektoren er
hvor
er den metriske tensor på flaten. Den definerer et indreprodukt mellom vektorer i samme tangentplan. Lengden av de to basisvektorene kan derfor uttrykkes ved to av de metriske komponentene som
og likedan vinkelen θ12 mellom dem ved den tredje komponenten,
Fra definisjonen følger at den metriske tensoren er symmetrisk slik at gμν = gνμ og den inneholder derfor bare tre uavhengige størrelser. Når skjærer koordinatlinjene hverandre vinkelrett og metrikken sies å være «diagonal» fordi den tilsvarende matrisen (gμν) er diagonal.
Linjeelement
Lengden til en kurve r(λ) på flaten er gitt ved det kvadrerte, differensielle buelengden
Går kurven gjennom to punkt A og B på flaten, vil lengden av kurven mellom disse to punktene være gitt ved integarlet
hvor . Hvis man i stedet beskrev kurven med parameteren λ = f (λ) hvor f er en glatt funksjon, ser man at integralet er uforandret. Lengden av kurven har en absolutt verdi, uavhengig av parametriseringen.
Ofte blir notasjonen E = g11, F = g12 og G = g22 benyttet og kalt for «fundamentalstørrelsene av første orden». Linjeelementet tar da formen
etter å ha utført summasjonen over de like indeksene og omtales som «den første, fundamentale formen» til flaten.
Geodetisk kurve
En geodetisk kurve forbinder to punkt slik at avstanden mellom dem målt langs kurven er minst mulig. Den tilsvarer en rett linje i det euklidske rommet. På en flate finnes en slik kurve ved å minimalisere lengdeintegralet L. Det kan gjøres ved variasjonsregning som leder til Euler-Lagrange-ligningen. I dette tilfelle er den
Utregningen her blir spesielt enkel når man velger den naturlige parametriseringen gitt ved kurvens egen buelengde s. Da kan man sette etter å ha utført derivasjonene. Det gir differensialligningen
som kalles den «geodetiske ligningen». Her er
Christoffel-symbolet av andre type hvor gαβ er den inverse matrisen til gαβ. Dette symbolet som ikke er noen tensor, opptrer ofte i forbindelse med bruk av krumlinjete koordinater.
Flateelement
Det differensielle arealet til et lite parallellogram i tangentplanet til flaten definert ved vektorene e1du og e2dv er
Nå er
som er determinanten g = det(gμν) til matrisen for den metriske tensoren. Flateelementet kan da skrives på den enklere formen
Arealet til et endelig stykke av flaten kan herav finnes ved integrasjon.
Vektorproduktet e1 × e2 som opptrer her, er en vektor normal til tangentplanet og derfor også vinkelrett på flaten. Vanligvis defineres den å ha lengde lik med 1 slik at den kan skrives som
Dette er flatens normalvektor som tilfredsstiller N⋅N = 1 sammen med N⋅e1 = N⋅e2 = 0.
Eksempel: Monge-flate
Den enkleste parametrisering av en flate i E3 er gitt ved avbildningen z = f(x,y). Da kalles den ofte for en «Monge-flate» og kan også være en del av en større flate. De to koordinatene i flaten kan da tas å være og slik at posisjonsvektoren til et punkt på den er
Enkel derivasjon gir da de intrinsikke basisvektorene
hvor fu og fv står for den partiellderiverte med hensyn på henholdsvis u og v. De metriske komponentene blir dermed
Som en illustrasjon kan man ta paraboloiden definert ved . Om den skal være elliptisk eller hyperbolsk, avhenger av det relative fortegnet mellom parametrene a og b. Det kvadratiske linjeelementet på denne flaten er dermed
mens arealet er gitt ved dobbelintegralet
Dette er derfor det samme på en elliptisk paraboloide som på en hyperbolsk paraboloide.
Kovariant derivasjon
Et vektorfelt A(x) i det tredimensjonale rommet E3 vil ved avbildningen xk = xk(u,v) gi et vektorfelt på flaten hvor x nå står for koordinatene på flaten. Forandringen av dette feltet langs kurven i flaten er gitt ved den deriverte B. O'Neill, Elementary Differential Geometry, Academic Press, New York (1997). ISBN 0-12-526750-9.
I det første leddet
inngår dxμ/dλ som utgjør komponentene til kurvens tangentvektor v = d r/dλ. Det andre leddet fremkommer fordi basisvektorene på flaten forandrer seg fra sted til sted. Her blir på samme måte
hvor nå
Denne symmetriske størrelsen er i alminnelighet en vektor i det tredimensjonale rommet E3. Den kan derfor splittes opp i en del som ligger i flaten og den gjenværende delen langs normalen N til flaten. Derfor kan man skrive
siden det vil vise seg at i den første delen opptrer Christoffel-symbolet på denne måten. Da eμν er symmetrisk, er også dette symbolet og den nye størrelsen bμν symmetrisk i de samme to indeksene. Dens komponenter blir ofte skrevet som , og og kalt for «fundamentalstørrelsene av andre orden».
Av dette følger at den deriverte dA/dλ er en ny vektor med komponenter både parallelt og normalt på flaten. Den delen som ligger i flaten, kalles den kovariant deriverte av vektoren langs tangentvektoren v,
Den kovariant deriverte av A langs basisvektoren eβ er derfor
På samme måte kan kovariante deriverte av tensorer av høyere rang finnes.
Parallellitet Når den kovariant deriverte av en vektor langs en kurve i flaten er null, sier man at vektoren er parallell med seg selv langs kurven. Det er i analogi med hva man mener med en parallell forflytning av en vektor i det euklidske rommet. Denne definisjonen gjør det mulig å identifisere en klasse av kurver i flaten med den spesielle egenskapen at de har tangentvektorer v = dr/dλ som er parallelle langs en og samme kurve. Ligningen for disse er derfor
Utskrevet på komponentform gir det differensialligningen
som sier at disse spesielle kurvene må være geodetiske. Her kan nå λ være en vilkårlig parametrisering.
Fra definisjonen gμν = eμ⋅eν av den metriske tensoren følger ved derivasjon at
Men nå er
Christoffel-symbolet av første type som derfor oppfyller
Ved å bytte om indeksene og benytte symmetrien mellom dem, kommer man dermed frem til at
Denne beregningen av Christoffel-symbolene gir derfor samme resultat som tidligere.
Ingen av disse konsekvensene av kovariant derivasjon avhenger av at man befinner seg på en todimensjonal flate. De kan derfor tas direkte over til å gjelde på en mangfoldighet med vilkårlig høy dimensjon og beskrevet ved riemannsk geometri. Det er en av fordelene ved å bruke kovariant notasjon og Einsteins summekonvensjon.
Krumning
I utgangspunktet er det ikke klart hvordan man skal definere krumningen til en flate. Men da krumningen til en kurve kan entydig defineres og beregnes, kan man betrakte kurver i flaten. Fra deres krumning får man da også informasjon om flatens krumning.
Det er enklest å betrakte en kurve med naturlig parametrisering r = r(s) i flaten. Den har da en tangentvektor t = d r/ds og krumningsvektor
Her er κ kurvens krumning, mens n er en normert vektor som står vinkelrett på tangentvektoren t. Den har i alminnelighet en komponent normalt på flaten langs normalen N og en annen i flaten langs en vektor e = N×t. Derfor kan man skrive
hvor κg kalles «den geodetiske krumningen» til flaten og κN for «den normale krumningen». De er forbundet ved relasjonen
Da den opprinnelige tangentvektoren kan uttrykkes ved sine komponenter i flaten som
kan krumningsvektoren beregnes med resultatet
Ved her å sette inn for eμν, finner man for den normale krumningen
og for den geodetiske krumingen
Hvis man derfor har benyttet en geodetisk kurve for å undersøke flatens krumning, så blir denne komponenten av krumningen lik med null. D.J. Struik, Lectures on Classical Differential Geometry, Addison-Wesley, Cambridge, Massachusetts (1950).
Den avgjørende informasjonen om flatens krumning ligger derfor i normalkrumningen κN og dermed fundamentalstørrelsene av andre orden bμν. Dette kan mer intuitivt forstås utfra et bilde man kan ha av flaten hvor en større krumning vil medføre at normalvektoren N forandrer seg desto raskere. Denne forandringen av normalvektoren kommer til uttrykk i vektoren . Da , må . Denne nye vektoren må derfor ligge i tangentplanet slik at man kan skrive
hvor komponentene bνμ foreløbig er ukjente. Men ved å derivere på samme måte, finner man
Her kan man gjøre bruk av at som til slutt gir at
som er ekvivalent med
Dermed kan disse ukjente koeffisientene også uttrykkes ved fundamentalstørrelsene av andre orden L, M og N samt de metriske komponentene E, F og G som utgjør fundamentalstørrelsene av første orden.
Hovedkrumninger
thumb|360px|Hovedkrumningene fremkommer ved to vinkelrette normalplan som skjærer flaten.
Normalkrumningen til flaten i et vilkårlig punkt kan skrives som
og avhenger derfor av forholdet du/dv. Dette bestemmer retningen til tangentvektoren. Ved å variere dette, kan man finne to retninger hvor normalkrumningen har et maksimum eller et minimum. Disse to verdiene kalles hovedkrumningene i punktet og tilsvarer to hovedretninger langs flaten.