thumb|Albert Einstein i 1921, vel et år etter hans generelle relativitetsteori viste seg å være riktig. Den generelle relativitetsteorien er en geometrisk teori som beskriver hvordan materie former egenskapene til tidrommet den befinner seg i og hvordan denne beveger seg i dette. Dermed gir teorien en helt ny forklaring av tyngdekrefter som tidligere ble beskrevet ved Newtons gravitasjonslov. Den ble utviklet av Albert Einstein og fikk sin endelige form i november 1915. Mens hans spesielle relativitetsteori kun gjelder for koordinatsystem som er forbundet ved lineære Lorentz-transformasjoner, er hans generelle relativitetsteori gyldig for alle koordinattransformasjoner i tidrommet.
Under utformingen av teorien viste Einstein hvordan lys som passerer Solen, vil bli avbøyd av dens gravitasjonsfelt. Da dette ble bekreftet ved målinger under en solformørkelse i 1919, fikk teorien sitt gjennombrudd. Siden har andre forutsigelser som gravitasjonell rødforskyvning, tidsdilatasjon og gravitasjonslinser blitt bekreftet. I 2016 ble gravitasjonsbølger for første gang eksperimentelt påvist. Innen moderne astrofysikk spiller teorien en avgjørende rolle og forklarer eksistensen av sorte hull.
All moderne kosmologi er basert på Einsteins generelle relativitetsteori hvor Universets ekspansjon er en naturlig følge. De mest presise konsekvenser av teorien er blitt verifisert ved egenskaper til den kosmiske bakgrunnsstrålingen.
Sammenfatning
Mens den spesielle relativitetsteorien er basert på at lyshastigheten er den samme i alle inertialsystem, er den generelle teorien en konsekvens av ekvivalensprinsippet som forbinder akselerasjon og gravitasjon. Det betyr at i et lite område av rommet hvor det virker tyngdekrefter, kan man i et kort tidsrom alltid finne et referansesystem hvor disse ikke opptrer og hvor den spesielle teorien derfor er gyldig. På den måten er den generelle relativitetsteorien en utvidelse av den spesielle til å gjelde i alle referansesystem i vilkårlig bevegelse i forhold til hverandre.C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, Gravitation, W. H. Freeman, San Francisco (1973). ISBN 0-7167-0344-0.
Dette er analogt med at på en krum flate kan man alltid i et lite område bruke euklidsk geometri hvor der ikke er noen krumning. Hele flaten kan betraktes som sammensatt av slike mindre områder og må beskrives med todimensjonal, riemannsk geometri. På samme måte må tidrommet hvor der virker tyngdekrefter, beskrives med den samme geometrien utvidet til fire dimensjoner. Det som oppleves som tyngdekrefter, er effekten av krumningen til tidrommet uttrykt ved Riemanns krumningstensor .
Egenskapene til et rom beskrevet ved riemannsk geometri, er inneholdt i den metriske tensoren gμν. Den gir avstanden ds mellom to nærliggende punkt som er adskilt med en koordinatforskjell dxμ som kan uttrykkes ved kvadratet av den differensielle buelengden,
Her og ellers i generell relativitetsteori brukes Einsteins summekonvensjon hvor man summerer over all like indekser. I tidrommet tilsvarer disse en tidskoordinat og tre romkoordinater. Komponentene til krumningstensoren finnes ved å ta deriverte av den metriske tensoren.H.P. Robertson and T.W. Noolan, Relativity and Cosmology, W.B. Saunders Company, Philadelphia (1968).
I Newtons teori er tyngdekrefter forårsaket av masser. Einstein viste i den spesielle teorien at masse er ekvivalent med energi. Dermed vil ren energi i en relativistisk gravitasjonsteori forårsake tyngdekrefter. Alle former for materie, om den består av massive partikler eller ren stråling, vil gi opphav til gravitasjon og derfor frembringe krumning. Størrelsen av den materielle innflytelse på krumningen av tidrommet er uttrykt ved energi-impulstensoren Tμν. Denne sammenhengen mellom krumning og materie utgjør Einsteins feltligning
hvor på venstre side Eμν er Einsteins krumningstensor som kan avledes direkte av den til Riemann. Videre er c lyshastigheten og G er gravitasjonskonstanten, mens Λ er den kosmologiske konstanten som Einstein måtte ta med noe senere i kosmologisk sammenheng.
Denne fundamentale feltligningen utgjør i alt ti ligninger, en for hvert sett av uavhengige komponenter. Derfor omtales den også som «Einsteins feltligninger». For en gitt fordeling av energi og masse uttrykt ved energi-impulstensoren Tμν, vil hver av komponentene til ligningen utgjøre en partiell differensialligning for komponentene til metrikken gμν. En løsning av ligningene vil da gi de metriske egenskapene til tidrommet. Materien vil bevege seg i denne geometrien ved at hver del beveger seg langs en geodetisk kurve.
Den generelle relativitetsteorien beskriver ikke bare ren gravitasjon, men også hvordan denne kobler til all annen materie. Dette skjer ved at ligningene som beskriver de fundamentale vekselvirkningene i Standardmodellen, må se likedan ut i alle valg av koordinatsystem. Ligningene sies å være kovariante da de bevarer sin form under vilkårlige koordinattransformasjoner. I praksis benytter man dette når man løser dem, ved å velge et koordinatsystem som gir de største forenklingene basert på symmetrier eller andre forhold.S.M. Carroll, Spacetime and Geometry, Pearson, New York (2003). ISBN 978-0-805-38732-2.
Historisk utvikling
Det var Hermann Minkowski i 1907 som viste at Einsteins spesielle relativitetsteori viste kan formuleres geometrisk i et firedimensjoanlt tidrom.A. Pais, Subtle is the Lord, Clarendon Press, Oxford (1982). ISBN 0-19-853907-X Siden er dette omtalt som Minkowski-rommet. Det har en metrisk tensor som uttrykkes ved det kvadratiske linjeelementet
En klokke i bevegelse viser egentiden dτ = ds/c. Ved å innføre de fire koordinatene x 0 = ct, x1 = x, x2 = y og x3 = z kan dette skrives på standardformen som slik at Minkowski-metrikken har de diagonale komponentene . Dette linjeelementet er invariant under Lorentz-transformasjoner. All fysikk og fysiske lover skal være de samme i inertialsystem forbundet med slike lineære koordinattransformasjoner. Det var med en gang klart at dette ikke lar seg gjøre når tyngdekrefter er tilstede.
Men i 1907 hadde Einstein «sitt livs beste idé» da han innså at det er umulig å skille mellom tyngdekrefter og treghetskrefter som skyldes akselerasjon.A. Einstein, Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen, Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik, 4, 411 - 462 (1907). Dette er innholdet av ekvivalensprinsippet. For en observatør i fritt fall vil alle gjenstander i de nærmeste omgivelser være upåvirket av slike krefter og derfor sveve fritt, det vil si bevege seg som i et Minkowski-rom. Denne innsikten var begynnelsen på den generelle relativitetsteorien.
Rødforskyvning og lysavbøyning
I dette arbeidet viser han at klokker vil gå med forskjellige hastigheter i et gravitasjonsfelt Φ. Det kan observeres ved å sende ut et periodisk signal eller en lysbølge med frekvens ν1 fra et sted hvor dette har verdien Φ1 til et annet sted med et potensial Φ2. Den observerte frekvensen ν2 på dette stedet er da forbundet med den opprinnelige frekvensen ved ligningen
der Φ nå er potensialforskjellen Φ2 - Φ1. Hvis lyset altså beveger seg til et sted med høyere potensial slik at Φ > 0, vil det få mindre frekvens og derfor være rødforskjøvet. Omvendt, hvis man betrakter en klokke på et sted med et høyere potensial enn der man er, vil man se at den går raskere enn den lokale klokken.
left|thumb|Ifølge ekvivalensprinsippet vil en ball i Jordens tyngdefelt bevege seg på samme måte som i en rakett med akselerasjon g = 9.8 m/s2. På dette første trinn i utviklingen av teorien prøvde Einstein å forklare dette fenomenet med at lyshastigheten kunne være avhengig av størrelsen til gravitasjonspotensialet slik at man kunne tilskrive det en effektiv brytningsindeks. Det ville i så fall bety at en lysstråle vil avbøyes av tyngdekraften.
Først i 1911 tok Einstein opp igjen disse tankene.A. Einstein, Über den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes, Annalen der Physik 35, 898 - 908 (1911). Han utledet rødforskyvningen på en enklere måte, igjen basert på ekvivalensprinsippet. Videre innså han at gravitasjonell avbøyning av lys vanligvis er en så liten effekt, at den i beste fall kun ville kunne observeres når det passerer meget nærme Solen hvor gravitasjonspotensialet er spesielt sterkt. Han fant da resultatet
hvor b er avstanden fra sentrum til lystrålen. Ved å sette denne lik Solens radius, fant han at θ = 0.87 buesekund. Selv for en slik meget liten vinkel mente Einstein at den skulle kunne observeres under en solformørkelse. En sådan ville finne sted i Russland i august 1914, og Einstein gikk i gang med å organisere en ekspedisjon dit ledet av hans venn og kollega Erwin Finlay-Freundlich. Men den måtte avlyses da første verdenskrig brøt ut på samme tid. Det var nesten godt da Einstein to år senere fant ut fra den endelige formuleringen av teorien at lysavbøyningen skulle være dobbelt så stor.
Fra skalarfelt til tensorteori
Under sitt opphold i Prag fra 1911 til 1912 begynte Einstein å bli klar over at en ny, generell gravitasjonsteori måtte være gyldig i alle koordinatsystem tilsvarende ulik akselerasjon. Derfor kunne ikke euklidsk geometri i alminnelighet benyttes i tidrommet. I stedet måtte man gjøre bruk riemannsk geometri på samme måte som når man går fra en plan flate til en krum flate. Tilbake i Zürich kunne Einstein der få hjelp av sin venn og kollega Marcel Grossmann til å anvende denne matematikken på en generell relativitetsteori.
Etter ett års anstrengelser publiserte de resultatet av sitt samarbeid i en stor avhandling med tittelen Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und eine Theorie der Gravitation i 1913.A. Einstein und M. Grossmann, Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation, Zeitschrift für Mathematik und Physik 62, 225-261 (1914). I ettertid er denne viktige publikasjonen blitt omtalt som «Entwurf-avhandlingen» hvor det tyske ordet Entwurf betyr utkast. Einstein skrev den første delen som omhandlet hvordan tyngdekrefter kunne beskrives som en geometrisk effekt, mens den andre delen var skrevet av Grossmann og ga en presentasjon av riemannsk geometri og tensoranalyse.H. Gutfreund and J. Renn, The Road to Relativity, Princeton University Press, New Jersey (2017). ISBN 978-0-691-17581-2.
I stedet for å beskrive gravitasjon ved en skalært potensial Φ, var det nødvendig å erstatte dette med de ti komponentene til den metriske tensoren gμν for tidrommet. For å få overensstemmelse med Newtons gravitasjonslov, måtte det eksistere en lineære sammenheng mellom energi-impulstensoren Tμν og en geometrisk tensor forbundet med krumningen til tidrommet. Nøyaktig hvordan denne nye feltligningen skulle se ut, lykkes de ikke å finne ut av.
Omtrent på samme tid utviklet den finske fysiker Gunnar Nordstrøm en relativistisk gravitasjonsteori basert på det skalare gravitasjonspotensialet Φ.J.D. Norton, Einstein, Nordström and the early demise of scalar, Lorentz-covariant theories of gravitation, Archive for History of Exact Sciences 45 (1), 17–94 (1992). Einstein så med interesse på denne alternative teorien selv om den ikke hadde alle de fysiske egenskapene han ønsket seg. Sammen med sin student Adriaan Fokker viste han på begynnelsen av 1914 at den tillot bare tidrom hvor metrikken hadde den spesielle formenA. Einstein und A.D. Fokker, Die Nordströmsche Gravitationstheorie vom Standpunkt des absoluten Differentialkalküls, Annalen der Physik 44, 321-328 (1914).
Spesielt for denne teorien var at den ikke ville gi noen gravitasjonell lysavbøyning. For å avgjøre dette spørsmålet var derfor observasjon av fenomenet ved solformørkelsen om høsten samme år blitt enda viktigere.
Likedan viste Einstein og Fokker at den generelle ligningen for gravitasjonsfeltet Φ i denne skalare teorien kan skrives på den geometriske formen