thumb|240px|Paul Dirac i 1933. Dirac-ligningen er en kvantemekanisk bølgeligning for en relativistisk partikkel med spinn s = 1/2. Den ble utledet av den engelske fysiker Paul Dirac i 1928. Ligningen er av grunnleggende betydning i kvantemekanikken og gjelder for alle fermioner som elektroner og kvarker i standardmodellen for elementærpartiklene.
Etter etableringen av den ikke-relativistiske Schrödinger-ligningen i 1926 ville Dirac finne en ny bølgeligning som både var i overenstemmelse med kvantemekanikkens prinsipper og Einsteins spesielle relativitetsteori. På den tiden var Klein-Gordon-ligningen kjent for relativistiske partikler, men denne ga ingen positiv sannsynlighetstetthet da den inneholdt andrederiverte med hensyn på tiden. Derfor ville Dirac finne en relativistisk ligning som kun inneholdt en slik førstederivert på samme måte som den vanlige Schrödinger-ligningen.
Den kompakte ligningen Dirac kom frem til, hadde flere egenskaper enn han hadde forventet. I tillegg til at den automatisk ga en forklaring på hvorfor elektronet har spinn-1/2, forenklet ligningen seg til Pauli-ligningen når det beveger seg ikke-relativistisk. Dermed forklarte den også hvorfor elektronet har et gyromagnetisk forhold som er g = 2. På samme måte ga den automatisk riktig spinn-banekobling for elektroner i atomer. En eksakt løsning av ligningen for hydrogenatomet som forklarte alle aspekt av dets finstruktur, ble funnet i 1928 av Walter Gordon.
Selv om Dirac i begynnelsen ikke forsto betydningen av at ligningen også gir løsninger med negativ energi, innså han likevel etter hvert at disse tilsvarer antipartikler. På samme måte som den relativistiske Klein-Gordon-ligningen beskriver partikler og deres antipartikler med spinn s = 0, er Dirac-ligningen også en bølgeligning for et tilsvarende Dirac-felt for elementære partikler med spinn s = 1/2. Sammen med Maxwell-feltet ble det snart forent i moderne kvanteelektrodynamikk. I ettertid er det blitt sagt at ligningen var mer intelligent enn Dirac selv. V. Weisskopf, The development of field theory in the last 50 years, Physics Today 34 (11), 69–85 (1981).
Fri partikkel
Den ikke-relativistiske Schrödinger-ligningen inneholder den tidsderiverte ∂/∂t til første orden og er direkte forbundet med energien til partikkelen. Ifølge den spesielle relativitetsteori er tiden bare én av fire retninger i tidrommet som kan transformeres over i hverandre. En relativistisk invariant bølgeligning må være uavhengig av slike transformasjoner. Dirac ville derfor komme frem til en kvantemekanisk bølgeligning som også er lineær i de romlige deriverte ∂/∂x, ∂/∂y og ∂/∂z. På samme måte som for Schrödinger-ligningen, betyr det at den må inneholde impulsoperatoren til første orden der ħ er den reduserte Planck-konstanten. Denne argumentasjonen førte Dirac til ligningen
der c er lyshastigheten og samt er fire 4×4 hermitiske matriser. De må oppfylle kravene
der er Kronecker-delta med verdiene 1 eller 0 avhengig av om indeksene er like eller forskjellige. I tillegg må som også er verdien av kvadratene til de tre -matrisene. Bølgefunksjonen er her en 4-komponent kolonnevektor da disse matrisene alle har dimensjon 4×4. Den kalles vanligvis for en «Dirac-spinor».P.A.M. Dirac, The Quantum Theory of the Electron, Proc. Roy. Soc. A117 (778), 610-624 (1928).
Utledning
Formen til Dirac-ligningen er bestemt av at den skal bekskrive en relativistisk partikkel. Har den en masse m, må dens energi E og impuls p være forbundet med hverandre ved relasjonen
Den ønskede bølgeligningen tilsvarer nå å kunne uttrykke denne energien på den lineære formen
hvor og i utgangspunktet er ukjente størrelser. De kan ikke være reelle eller komplekse tall, men muligens matriser. For eksempel har Pauli-matrisene egenskapen at
Ved å ta kvadratroten av denne sammenhengen, har man dermed at . Da en partikkel med masse m = 0 har energi E = pc, kan dette benyttes til å gi en relativistisk bølgeligning som er lineær både i ∂/∂t og ∇. Det er Weyl-ligningen for et masseløst fermion med spinn-1/2. M.E. Peskin and D.V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley, Reading Massachusetts (1995). ISBN 0-201-50397-2.
For en massiv partikkel finner man på tilsvarende vis ved å betrakte og som ikke-kommuterende matriser, at
når man gjør bruk av Einsteins summekonvensjon og summerer over par med like indekser. Ved å benytte at da pi og pj kommuterer med hverandre, gir dette betingelsene de fire Dirac-matrisene må oppfylle. De skrives vanligvis på formen
hvor I i β-matrisen står for en 2×2 enhetsmatrise. Slike enhetsmatriser blir vanligvis ganske enkelt skrevet som 1 så lenge det ikke kan oppstå misforståelser.J.D. Bjorken and S.D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book Company, New York (1964).
Spinn-1/2
Dirac-ligningen kan skrives på samme form som den tidsavhengige Schrödinger-ligningen
hvor nå
er Hamilton-operatoren for den relativistiske partikkelen. Posisjonen er gitt ved en vektoroperator med komponenter som har en fundamental kommutator med komponentene til den konjugerte impulsoperatoren Den har den kanoniske formen
Da Hamilton-operatoren er uavhengig av posisjonen x, er derfor impulsen til partikkelen konstant. Derimot sier Heisenbergs bevegelsesligning at
ikke er null slik at partikkelens posisjon forandrer seg med tiden. Uavhengig av dens impuls har den en bevegelse gitt ved Dette kan bare tolkes som at en Dirac-partikkel alltid har en hastighet som i størrelse er gitt ved lyshastigheten. Fenomenet kalles for «sitterbevegelse» og har vært mye diskutert. En Klein-Gordon-partikkel har en mer normal sammenheng mellom impuls og hastighet. H.A. Bethe, Intermediate Quantum Mechanics, W.A. Benjamin, New York (1964).
En fri Dirac-partikkel har heller ikke en konstant dreieimpuls Skriver man dens komponenter ved hjelp av Levi-Civita-symbolet som følger det på samme vis fra
som mer kompakt betyr at Formen på dette resultatet tilsier å innføre de utvidete Pauli-matrisene
som har dimensjon 4×4. I dette Heisenberg-bildet vil de variere ifølge
når man benytter kommutatoren mellom de vanlige Pauli-matrisene. Det betyr at den tidsderiverte av operatoren er null. Derfor er den totale dreieimpulsen
bevart for en fri Dirac-partikkel. Av denne grunn har den spinn s = 1/2 hvor den indre dreieimpulsen (ħ/2)Σ har samme årsak som partikkelens sitterbevegelse.
Adjungert ligning
Dirac-spinoren er en kolonnevektor med fire komponenter som alle kan være komplekse. Den adjungerte spinoren blir dermed radvektoren Da Hamilton-operatoren skal være hermitisk, må også matrisene og være det. Den kompleks-transponerte av Dirac-ligningen blir dermed
om omtales vanligvis som den «hermetisk adjungerte» ligningen.
Bevart strøm
Multipliseres denne med fra høyre og trekkes så fra den opprinnelige Dirac-ligningen multiplisert med fra venstre, fremkommer
Ved å definere den skalare størrelsen og vektoren kan denne sammenhengen skrives mer kompakt som en kontinuitetsligningen
Den viser at kan betraktes som en positiv sannsynlighetstetthet for bølgefunksjonen på samme måte som for Schrödinger-ligningen. Da er den tilsvarende sannsynlighetsstrømmen som formelt inneholder hastigheten til partikkelen.
Elektromagnetisk vekselvirkning
Når Dirac-partikkelen har en elektrisk ladning q, kan den koble til både et elektrisk potensial V og et magnetiske potensialet A. Dette må gjøres på en slik måte at vekselvirkningen blir invariant under gaugetransformasjoner. I praksis betyr det å gjøre bruk av de minimale substitusjonene
som også benyttes for en Klein-Gordon-partikkel. Det gir Hamilton-operatoren
for en Dirac-partikkel i et generelt, elektromagnetisk felt.
For en partikkel med med en viss energi E, kan Dirac-spinoren skrives som
hvor den tidsuavhengige delen er en løsning av egenverdiproblemet Dette kan løses ved å foreta opp oppsplittingen
som gir de to koblede ligningene
som er generelt gyldige.
Ikke-relativistisk grense
Når partikkelen beveger seg mye langsommere enn lyshastigheten, er dens totale energi E = mc 2 + ENR hvor ENR << mc 2 er den ikke-relativistiske delen. Den nedre komponenten av Dirac-spinoren er da mye mindre enn den øvre komponenten og kan beregnes fra denne. I denne grensen har man da tilnærmet at
Ved kun å beholde det første leddet i denne ekspansjonen, har man dermed
Innsatt i den øvre ligningen, finner man da at den største delen av Dirac-spinoren må tilfredsstille
Dette er den tidsuavhengige Pauli-ligningen for en spinn-1/2 partikkel. Den viser at Dirac-partikkelen har et gyromagnetisk forhold g = 2. Hvis man hadde tatt med neste ledd i denne ikke-relativistiske rekkeutviklingen, ville også spinn-banekoblingen fremkomme i den effektive Hamilton-operatoren.J.J. Sakurai, Advanced Quantum Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1967).
Kovariant formulering thumb|300px|Plakett i Westminster Abbey til minne om Paul Dirac og hans ligning.
Hvis man multipliserer Dirac-ligningen med fra venstre, kan den omformes til
Den kan nå skrives på kovariant form i det firedimensjonale tidrommet. Benytter man den metriske tensor med diagonale komponenter og koordinater blir da
når man gjør bruk av Einsteins summekonvensjon. Her er den kovariante gradientoperatoren og er modifiserte Dirac-matriser. De oppfyller nå
med hermitisk adjungerte Fra de opprinnelige - og -matrisene er da
Ved å definere den Dirac-adjungerte spinoren som
kan sannsynlighetsstrømmen utvides til en firevektor med en kovariant divergens
Frie spinorer Beskrivelsen av relativistiske partikler er litt enklere når man benytter måleenheter hvor lyshastigheten c = 1. En fri partikkel har da en 4-impuls der dens energi er gitt ved massebetinelsen
og kan være både positiv og negativ. Dirac-spinoren for en fri partikkel med positiv energi har da form som en plan bølge
der formen til impulsspinoren u (p) er bestemt av Dirac-ligningen. Den gir nå
når man benytter Feynmans slashnotasjon som gir mer kompakte formler. R.P. Feynman, Quantum Electrodynamics, Frontiers in Physics, W.A. Benjamin Inc, New York (1961), online archive.org Ved å splitte spinoren opp i store og små komponenter, er nå disse bestemt ved matriseligningen
Da nå kan de små komponentene finnes fra
Dermed tar den fulle impulsspinoren formen
hvor A er en normeringskonstant og den nøyaktige formen til 2-komponentspinoren er bestemt av spinnretningen til partikkelen.
Når både partikkelens energi og 3-impuls er negative, er den tilsvarende løsningen
der B igjen er en normeringskonstant. Denne impulsspinoren for negative energier betegnes vanligvis og kan også finne fra matriseligningen
der nå Ved å la Dirac-spinoren ikke lenger betegne en èn-partikkel bølgefunksjon, men et relativistisk kvantefelt, vil disse spinorløsningene med negativ energi beskrive antipartikler.
Normering
Bølgefunksjonen for en fri Dirac-partikkel kan normeres på flere forskjellige vis. Mest hensiktsmessig er at dette blir gjort på den samme, kovariante måten som for relativistiske Klein-Gordon-partikler. Da definerer man et indreprodukt mellom to slike funksjoner basert på integralet over ladningstettheten Det gir normeringen
som man da vil skal ha verdien
Det betyr at Dirac-spinorene må være normert slik at
En direkte utregning gir nå normeringskonstantene når 2-komponentspinorene som angir spinnretningen, er normert som De relativistiske spinorene tar dermed den endelige formen
hvor indeksen s = 1,2 avhengig av om partikkelen har spinn opp eller ned. Denne normeringen betyr også at indreproduktet
er som forventet en Lorentz-skalar. I.J.R. Aitchison and A.J.G. Hey, Gauge Theories in Particle Physics, Institute of Physics Publishing, Bristol (1989). ISBN 0-85274-328-9.
For beregning av Feynman-diagram med Dirac-partikler opptrer også ofte produktene
Begge sidene av disse ligningene er nå 4×4 matriser.
Utvidete Dirac-matriser
Den fundamentale antikommutatoren