thumb|240px|Byste ved Universitetet i Wien av Erwin Schrödinger med sin ligning. Schrödinger-ligningen beskriver hvordan et kvantemekanisk system forandrer seg med tiden. Den ble først stilt opp i 1926 av den østerrikske fysikeren Erwin Schrödinger basert på betraktninger fra klassisk mekanikk. Bakgrunnen for dette var forslaget til den franske fysiker Louis de Broglie to år tidligere om at partikler kunne tilordnes bølgeegenskaper. Ligningen var derfor en konkret realisasjon av denne idéen og beskriver det som av denne grunn blir kalt materiebølger. Ligningens betydning oppsto da Schrödinger kunne vise at den ga riktige verdier for spektrumet til hydrogenatomet. Den viste seg snart å være ekvivalent med matrisemekanikken som Werner Heisenberg hadde utviklet året før.
I sitt opprinnelig arbeid fokuserte Schrödinger på bølgeligningen for én ikke-relativistisk partikkel. Det ble raskt klart at man kan også stille opp en Schrödinger-ligning for mange partikler som vekselvirker i atomer og molekyler. Spesielt etter arbeidene til Paul Dirac ble det klart at formen på den opprinnelige ligningen er generelt gyldig for alle kvantemekaniske systemer, også for relativistiske partikler og kvantefelt. Men selv om formen alltid er den samme, er inneholdet av ligningen vidt forskjellig og avhengig av hva den beskriver. Generelt kan ligningen uttrykkes ved en Hamilton-operator som bestemmer hvordan systemet man betrakter, utvikler seg med tiden. Schrödinger-ligningen kan da alltid skrives som
hvor Ψ er en generalisert bølgefunksjon eller «tilstandsvektor» avhengig av de variable som opptrer i Hamilton-operatoren. Her inngår den reduserte Planck-konstanten ħ = h/2π og den imaginære enheten i = √-1.
Bølgefunksjonen Ψ er i alminnelighet et komplekst tall. Da Max Born viste at det reelle produktet Ψ*Ψ er sannsynligeten for å finne systemet i denne tilstanden ved tiden t, omtales den også som en «sannsynlighetsamplitude».
For én ikke-relativistisk partikkel med masse m som beveger seg i et potensial V = V(x,t), er bølgefunksjonen gitt som en løsning av Schrödinger-ligningen
Den er en lineær, partiell differensialligning som i motsetning til vanlige bølgeligninger er av første orden i tiden. På høyre side av ligningen inngår Hamilton-operatoren for dette forholdsvis enkle systemet.
Bølgefunksjoner og operatorer
Schrödinger-ligningen kan ikke utledes fra klassisk fysikk eller mer kjente, fundamentale lover. Den beskriver noe helt nytt som tilhører egenskaper av vår verden som ikke kan betraktes direkte, og som vi derfor kan ha vanskeligheter med å fatte og gjøre forståelig. Det er på samme måte som i klassisk mekanikk hvor alt kan forklares ved mekaniske lover som oppstår fra et fundamentalt virkningsprinsipp. Hvor dette kom fra, visste man opprinnelig ikke. Men i dag vet vi at dette er en konsekvens av den underliggende kvantemekanikken hvor Schrödinger-ligningen danner fundamentet.
Men man kan sannsynliggjøre formen på Schrödinger-ligningen ved betraktninger basert på klassisk fysikk. Det enkleste er å første betrakte en fri partikkel med masse m og impuls p har energi E = p2/2m . Impulsen p er konstant for en fri partikkel. Inspirerert av dualiteten til lys som noen ganger kan beskrives som bølger og noen ganger som partikler, foreslo de Broglie at kanskje kunne en materiell partikkel som et elektron beskrives som en bølge. Som for et foton skulle den ha en frekvens gitt ved ν = E/h hvor h er Plancks konstant. Denne sammenhengen var først foreslått av Einstein i hans forklaring av den fotoelektriske effekt. Likedan skulle partikkelen ha en bølgelengde λ = h/p som også gjelder for fotonet. Den matematiske formen på bølgen må da være
hvor k = 2π/λ er det vanlige bølgetallet og ω = 2πν er vinkelfrekvensen. Men denne amplituden kan man nå likså godt uttrykke ved partikkelens egenskaper,
Dette er da materiebølgen for en fri partikkel som de Broglie og Schrödinger først tenkte seg. Den har kanskje den litt overraskende egenskapen at den har en utbredelseshastighet u = E/p som er forskjellig fra partikkelens hastighet v = p/m .
Bølgefunksjonen inneholder nå informasjon om partikkelens impuls og energi. For eksempel, ved å bruke nabla-operatoren kan man definere en impulsoperator
slik at den har egenskapen . Den gir partikkelens impuls multiplisert med samme bølgefunksjon. Man sier at bølgefunksjonen i dette tilfellet er en egenfunksjon for impulsen. På samme måte vil operatoren iħ∂ /∂ t gi energien E til partikkelen.D. J. Griffiths, Quantum Mechanics, Pearson Education International, Essex (2005). ISBN 1-292-02408-9.
Partikkel i ytre potensial
For å finne Schrödingers ligning for en partikkel som beveger seg i et ytre potensial slik at den har en potensiell energi V = V(x) , kan man gå ut fra Hamilton-funksjonen
Den gir Hamiltons ligninger som beskriver den klassiske bevegelsen. I dette tilfellet er Hamilton-funksjonen uavhengig av tiden og partikkelen i potensialet har derfor en konstant energi E.
I den kvantemekansike bølgebeskrivelsen er partikkelens bevegelse styrt av Hamilton-operatoren. Den finnes fra den klassiske Hamilton-funksjonen ved å erstatte den klassiske impulsen med impulsoperatoren . Det gir Hamilton-operatoren
Når denne nå virker på bølgefunksjonen, skal den gi energien E til partikkelen. Bølgefunksjonen skal altså være en egenfunksjon for energien. Mer presist betyr det matematisk at som skrevet ut gir
Dette kalles den stasjonære Schrödinger-ligningen. Variasjonen med tiden i denne bølgefunksjonen er nå gitt ved energien E på samme måte som for en fri partikkel. Men avhengigheten av koordinaten x er nå mer komplisert og må finnes ved å eksplisitt løse denne differensialligningen. Det viser seg at det kun lar seg gjøre når energien E tar bestemte, ofte diskrete verdier. Denne matematiske egenskapen ga dermed en mer generell kvantisering av et system med partikler enn reglene til Bohr og Sommerfeld.
I det generelle tilfellet der potensialet V = V(x,t) varierer med tiden, er ikke Hamilton-funksjon for partikkelen lenger konstant. Den har derfor heller ikke noen bestemt energi. Tidsavhengigheten i bølgefunksjonen Ψ(x,t) er derfor annerledes enn for en fri partikkel, og den stasjonære Schrödinger-ligningen gjelder ikke lenger. Tidsavhengigheten til bølgefunksjonen må nå beregnes fra den generelle ligningen gitt i innledningen. Denne generelle Schrödinger-ligningen kan ikke lenger utledes, men er et kvantemekanisk postulat. Denne stemmer med alle observasjoner og mest nøyaktige eksperiment.J.J. Brehm and W.J. Mullin, Introduction to the Structure of Matter, John Wiley & Sons, New York (1989). ISBN 0-471-61273-1.
Superposisjon
Schrödinger-ligningen er en lineær differensialligning. Det betyr at hvis Ψ1(t) og Ψ2(t) er to løsninger, så er også. kombinasjonen
også en løsning der c1 og cc er komplekse konstanter. Denne matematiske egenskapen sier derfor at et kvantemekanisk system kan være i en superposisjon av to forskjellige tilstander ved samme tidspunkt. Det er dette som ligger bak fenomen og diskusjoner rundt det som populært omtales som Schrödingers katt. Man kan på samme vis kombinere mange flere tilstander i mer generelle superposisjoner.
Hvis de forskjellige tilstandene som inngår i superposisjolnen, er egentilstander av Hamilton-operatoren slik at
vil tidsutviklingen av enn vilkårlig tilstand kone skrives som
Dette er formen til en generell løsning av den tidsavhengige Schrödinger-ligningen.
Sannsynlighetstetthet
Sannsynligheten for å observere en partikkel beskrevet ved bølgefunksjonen Ψ(t,x) i punktet x ved tiden t, er proporsjonal med det reelle produktet Ψ*Ψ. Da partikkelen med sikkerhet må være et eller annet sted, er derfor integralet
Det er derfor naturlig å omtale produktet
for en «sannsynlighetstetthet». Midlere eller mest sannsynlige posisjon til partikkelen kan da for eksempel beregnes fra integralet
som i alminnelighet vil være en funksjon av tiden. Men hvis partikkelen er i en energi-egentilstand, vil tidsavhengigheten kansellere ut. Det er én god grunn for å omtale en slik tilstand som «stasjonær».
Mer generelt er forventningsverdien av en generell variabel F(x,p) gitt ved
På denne måten kan også midlere energi til partikkelen beregnes i en vilkårlig tilstand ved å finne forventningsverdien til Hamilton-operatoren.
Sannsynlighetsstrøm
Tidsvariasjonen til sannsynlighetstettheten ρ = Ψ*Ψ kan finnes direkte ved derivasjon,
Ved bruk av den tidsavhengige Schrödinger-ligningen for Ψ og også for den komplekskonjugerte bølgefunksjonen Ψ*, vil dette forenkles. Resultatet kan skrives på formen til en kontinuitetsligning
når man definerer en «sannsynlighetsstrøm» som
Denne uttrykker hvordan sannsynligheten for å finne partikkelen forskjellige steder varierer med tiden på en slik måte at den integrerte sannsynlighetstettheten er konstant.
Endimensjonale eksempel
Flere viktige, kvantemekaniske effekter kan illustreres ved å betrakte en partikkel som beveger seg i én dimensjon hvor den er påvirket av potensialet V(x). En stasjonær løsning med energi E er da løsning av den endimensjonale Schrödinger-ligningen
I klassisk mekanikk kan ikke den totale energien E være mindre en den potensielle energien V(x), men i kvantemekanikken er det ikke noe som den hindrer dette. Et punkt hvor E = V(x0) kalles et klassisk «vendepunkt». Bølgefunksjonene ψ1(x) og ψ2(x) på hver side av dette punktet må ha samme verdi. I tillegg må også de deriverte av de to funksjonene være like store da differensialligningen er av andre orden. Dermed har man grensebetingelsene
som må gjelde i vendepunktet x0. Generelt må disse gjelde også i andre punkt hvor bølgefunksjonen skifter karakter.M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.
Potensialstepp thumb|280px|Illustrasjon av et ideelt potensialstepp. I virkeligheten må dette ha avrundete hjørner. Hvis en klassisk partikkel beveger seg med en hastighet v1 inn i et potensial med en konstant verdi V0 < E, vil den fortsette i samme retning med en redusert hastighet v2. Hvis derimot V0 > E, vil den stoppe opp og så bevege seg tilbake med den samme hastigheten.
Kvantemekanisk kan denne situasjonen lettest beskrives ved å anta at potensialet har en plutselig forandring slik at det ser ut som et stepp eller trinn,
Til venstre for steppet har partikkelen en impuls gitt ved at Løsningen av Schrödinger-ligningen i dette området har generelt formen
hvor det første leddet representerer en innkommende, plan bølge med bølgetall . Det andre leddet beskriver den reflekterte bølgen. På høyre side av steppet når vil man kun ha en bølge som beveger seg mot høyre med bølgetallet som er reelt i dette tilfellet.R.M Eisberg, Fundamentals of Modern Physics, John Wiley & Sons, New York (1961).
De to grensebetingelsene gir nå sammen med . Herav finner man
Fluksen av partikler til venstre x < 0 for steppet er gitt ved sannsynlighetsstrømmen
Men det første leddet representerer fluksen av innkommende partikler, gir det andre fluksen av reflekterte partikler. Forholdet mellom disse to er «refleksjonskoeffisienten»
På samme måte er fluksen av partikler som beveger seg mot høyre x > 0 gitt ved sannsynlighetsstrømmen slik at «transmisjonskoeffisienten» er
Koeffisientene oppfyller som uttrykker bevarelse av den totale sannsynligheten. En partikkel som beveger seg mot steppet, vil ikke splittes opp ved at noe av den reflekteres til venstre og resten fortsetter til høyre. Derimot har den sannsynligheten R for å reflekteres og T for å fortsette i samme retning. Da dette resultatet er uavhengig av Plancks konstant ħ , kan det derfor synes å være i motstrid med klassisk mekanikk som sier at ingen partikler blir reflektert. Men for et realistisk potensialsstep med avrundete hjørner vil ikke dette problemet oppstå. D. Branson, The correspondence principle and scattering from potential steps, American Journal of Physics 47 (12), 1101–1102 (1979).