Innen sannsynlighet og statistikk er en tilfeldig variabel, aleatorisk variabel eller stokastisk variabel en variabel med verdien som et utfall av en tilfeldig hendelse. Som en funksjon må den tilfeldige variabelen være målbar, som utelukker visse patologiske tilfeller hvor den tilfeldige variabelens mengde er uendelig sensitiv til små endringer i utfallet.

Det er vanlig at disse utfallene er avhengige av en fysisk variabel som ikke er forståelig. For eksempel ved et myntkast vil utfallet kron eller mynt være avhengig av uviss fysikk. Hvilket utfall som vil bli observert er usikkert. Mynten kunne blitt fanget av en sprekk i gulvet, men slike muligheter er ekskludert fra betraktningen. Definisjonsmengden til en variabel er et sett av mulige utfall. Ved myntkast er det kun to mulige utfall - kron eller mynt. Siden ett av disse utfallene må skje må hver av mulighetene ha en sannsynlighet større enn null.

En tilfeldig variabel er definert som en funksjon som kartlegger numeriske kvantiteters utfall, vanligvis reelle tall. I den forstand er det en prosedyre for å tilegne en numerisk mengde til hvert fysiske utfall, og selve prosedyren er hverken tilfeldig eller variabel, i kontrast til sitt navn. Det tilfeldige er den ustabile fysikken som beskriver hvordan mynten lander, og usikkerheten om hvilket utfall som faktisk vil bli observert.

En tilfeldig variabels mulige verdier kan representere de mulige utfallene av et eksperiment som ennå ikke er utført, eller de mulige utfallene av et allerede utført eksperiment med eksisterende verdier som ennå er usikre (for eksempel på grunn av upresise målinger eller uskarphetsrelasjoner). De kan også konseptuelt representere enten resultatet av en "objektivt" tilfeldig prosess som å trille en terning, eller en "subjektiv" tilfeldighet som et resultat fra utilstrekkelig kunnskap om en mengde. Meningen bak de tilegnede sannsynlighetene til de potensielle verdiene av en tilfeldig variabel er ikke del av sannsynlighetsteorien i seg selv, men er heller relatert til filosofiske argumenter over sannsynlighetsfortolkning. Matematikken fungerer på samme måte uavhengig av hvilken fortolkning en måtte bruke.

En tilfeldig variabel har en sannsynlighetsfordeling som spesifiserer sannsynligheten for at verdien skal falle i et gitt intervall. Tilfeldige variabler kan være diskrete, som er en spesifisert avgrenset eller tellbar liste med verdier, tilegnet en sannsynlighetsmassefunksjons karakteristikk av den tilfeldige variabelens sannsynlighetsfordeling; eller kontinuerlig, å ta hvilken som helst numerisk verdi i et intervall eller samling av intervaller, via en tetthetsfunksjon som er karakteristisk for den tilfeldige variabelens sannsynlighetsfordeling; eller en blanding av begge typene. To tilfeldige variabler med den samme sannsynlighetsfordelingen kan fortsatt være ulike i form av assiosasjoner med, eller uavhengighet fra, andre tilfeldige variabler. En tilfeldig variabels realisering, altså resultatet av å tilfeldig velge verdier i henhold til variabelens tetthetsfunksjon, er kalt tilfeldige varianter.

Den formelle matematiske behandlingen av tilfeldige variabler er et emne innen sannsynlighetsteori. I denne konteksten er en tilfeldig variabel forstått som en funksjon definert i et utfallsrom som produserer numeriske verdier.

Definisjon En tilfeldig variabel er en målbar funksjon fra et sett mulige utfall til et målbart rom Den tekniske axiomatiske definisjonen krever å være et utfallsrom it en sannsynlighetstrippel. Vanligvis er en reell verdi (i.e. ).

Sannsynligheten at tar en verdi i et målbart sett er notert:hvor er sannsynlighetsmålet utstyrt med .

Standard tilfelle I mange tilfeller . I noen kontester er termen tilfeldig element brukt til å betegne en tilfeldig variabel i en annet form.

Når verdimengden (eller området) til er avgrenset eller tellbar, er den tilfeldige variabelen kalt en diskret stokastisk variabel og dens distribusjon kan bli beskrevet av en sannsynlighetsmassefunksjon som tilegner en sannsynlighet i verdimengden til . Hvis verdimengden er utellelig er kalt en kontinuerlig stokastisk variabel. I det spesielle tilfellet der variabelen er absolutt kontinuerlig kan fordelingen bli beskrevet av en tetthetsfunksjon, som tilegner sannsynligheter til intervaller; nærmere bestemt må hvert individuelle punkt nødvendigvis ha ingen sannsynlighet for en absolutt kontinuerlig stokastisk variabel. Ikke alle kontinuerlig stokastiske variabler er absolutt kontinuerlig, for eksempel i en blandet fordeling. Slike tilfeldige variabler kan ikke bli beskrevet av en tetthets- eller sannsynlighetsmassefordeling.

Hvilken som helst tilfeldig variabel kan bli beskrevet av dens kumulative fordelingsfunksjon, som beskriver sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen vil være mindre eller lik en bestemt verdi.

Forlengelser Begrepet tilfeldig variabel innen statistikk er tradisjonelt begrenset til tilfellet med reelle verdier . Her gjør de reelle tallenes struktur det mulig å definere mengder som forventet verdi og varians til den tilfeldige variabelen, den kumulative forelingsfunksjonen og momentene til dens fordeling.

Denne definisjonen er gylding for alle verdier i det målbare rommet . Dermed kan en vudere andre setts tilfeldige elementer, slik som tilfeldige boolske variabler, kategoriske verdier, komplekse tall, vektorer, matriser, sekvenser, trær, sett, figurer, mangfoldighet og funksjoner. Man kan da referere spesifikt til en tilfeldig variabel av type .

Det mer generelle konseptet om et tilfeldig element er særlig nyttig innen fag som grafteori, maskinlære, naturlig språkbehandling og andre områder i diskret matematikk og informatikk, hvor en er ofte interessert i å modellere ikke-numerisk datastrukturers tilfeldige variasjon. I noen tilfeller er det uansett praktisk å representerer hvert av elementene til ved å bruke et eller flere reelle tall. I denne tilfellet kan et tilfeldig element valgfritt bli representert som en vektor av tilfeldige variabler med en reell verdi, hvor alle er definert på det samme underliggende sannsynlighetsrommet , som tillater ulike tilfeldige variabler å samvariere. For eksempel:

Et tilfeldig ord kan bli representert som et tilfeldig partall som fungerer som en indeks i mulige ords vokabulær. Det kan også bli representert som en tilfeldig indikatorvektor hvis lengde tilsvarer vokabulærets størrelse, hvor kun positive sannsynligheters verdi er , , og tallet 1s posisjon indikerer ordet. En tilfeldig setning av gitt lengde kan bli representert som en vektor med tilfeldige ord. En tilfeldig graf på gitte toppunkter kan bli representert som en matrise bestående av tilfeldige variabler, som har verdier som spesifiserer den tilfeldige grafens tilstøtende matrise. En tilfeldig funksjon kan bli representert som en samling tilfeldige variabler som gir funksjonens verdier på varierende punkter i funksjonens domene. er ordinære reelle tilfeldige variabler gitt at funksjonen innehar reelle verdier. For eksempel, en stokastisk prosess er en tilfeldig tidsfunksjon, en tilfeldig vektor er en tilfeldig funksjon av et indekssett , og et tilfeldig område er en tilfeldig funksjon på et sett (vanligvis tid, rom eller et diskret sett).

Fordelingsfunksjoner Hvis en tilfeldig variabel er definert på sannsynlighetsrommet er gitt, kan vi stille spørsmål som "Hvor sannsynlig er det at verdien er lik 2?". Dette er det samme som sannsynligheten for hendelsen som er ofte skrevet eller forkortet til .

Å skrive ned alle disse sannsynlighetene til en tilfeldig variabel med en reell verdi gir sannsynlighetsfordelingen til .Sannsynlighetsfordelingen "glemmer" det bestemte sannsynlighetsrommet som er brukt til å definere og husker kun sannsynlighetene for ulike verdier tilknyttet . En slik sannsynlighetsfordeling kan alltid bli samlet av dens kumulative fordelingsfunksjon

og noen ganger også ved å bruke en tetthetsfunksjon, . Innen målteori bruker vi den tilfeldige variabelen for å "dytte frem" målet på til en måling på . Det underliggende sannsynlighetsrommet er en teknisk enhet som er brukt til å garantere tilfeldige variablers eksistens, noen ganger for å lage dem og å definere forestillinger som korrelasjon og avhengighet eller uavhengighet basert på en fellesfordeling bestående av to eller flere tilfeldige variabler i det samme sannsynlighetsrommet. I praksis disponerer en ofte hele rommet og putter kun et mål på som tilegner målet 1 til den hele reelle linjen, i.e., man arbeider med sannsynlighetsfordelinger istedenfor tilfeldige variabler.

Eksempler

Diskrete stokastiske variabler I et eksperiment kan en person bli valgt tilfeldig, og en tilfedlig variabel kan være personens høyde. Matematisk er den tilfeldige variablen tolket som en funksjon som hefter en person til den personens høyde. Assosiert med den tilfeldige variablen er en sannsynlighetsfordeling som tillater utregningen av sannsynligheten for at høyden er en mulig verdi i en undergruppe, slik som at sannsynligheten for at høyden er mellom 180 og 190 centimenter, eller sannsynligheten for at høyden er enten mindre enn 150 eller mer enn 200 cm.

En annen tilfeldig variable kan være hvor mange barn en person har; dette er en diskret stokastisk variabel med kun positive heltall som verdier. Det tillater utregningen av sannsynligheter for individuelle heltallsverdier, sannsynlighetsmassefunksjonen (SMF), eller for verdiers sett, inklusive uendelige sett. For eksempel kan det man er interessert i å undersøke være sannsynligheten for å ha et jevnt antall barn. For både avgrensede og uendelige hendelsessett kan sannsynligheten bli funnet ved å addere alle elementers SMF; altså sannsynligheten for et jevnt antall barn er den uendelige summen .

I slike eksempler er utvalgsrommet (settet bestående av alle mulige personer) ofte undertrykt siden det er vanskelig å beskrive matematisk, og de tilfeldige variablenes positive verdier er så ansett som et utvalgsrom. Men når to tilfeldige variabler er målt på det samme utfalls utvalgsrom, slik som at høyde og antall barn blir kalkulert på de samme tilfeldige personene, er det lettere å spore deres forhold dersom det er anerkjent at både høyde og antall barn kommer fra den samme tilfeldige personen, for eksempel slik at spørsmål om at slike tilfeldige variabler er korrelert eller ikke kan bli stilt.

Myntkast De mulige utfallene for et myntkast kan bli beskrevet av utvalgsrommet . Vi kan introdusere en tilfeldig variabel med reell verdi som modellerer en 1,- gevinst for et veddemål på kron som følger:Dersom mynten er et fair kast har Y sannsynlighetsmassefunksjonen gitt av:

Terningkast

right | thumb | Hvis utfallsrommet er et sett mulige tall kastet ved to terninger, og den aktuelle tilfeldige variabelen er summen S fra tallene på de to terningene, så er S en diskret tilfeldig variabel med en fordeling beskrevet av sannsynlighetsmassefunksjonen som vist på kolonnene i bildet her.

En tilfeldig variabel kan også bli brukt til å beskrive et terningkasts prosess og de mulige utfall. Den mest åpenbare representasjonen for situasjonen med to terninger er å ta parsettene i numrene og med som utvalgsrommet. Det totale antallet som er rullet (summen av øynene i hvert par) er så en tilfeldig variabel gitt av funksjonen som hefter parene til summen:og, dersom kastet er fair, har en sannsynlighetsmassefunksjon gitt:.

Kontinuerlig stokastisk variabel