Ortogonalitet er i matematikk en generalisering av vinkelrett til et indreproduktrom. To vektorer i rommet er ortogonale dersom indreproduktet mellom dem er lik null. Lineære transformasjoner kalles ortogonale dersom de bevarer indreproduktet.
Ortogonale vektorer er lineært uavhengige av hverandre. Ortogonalitet spiller en viktig rolle i mange område i matematikk, inlkudert matriseteori. approksimasjonsteori og fourieranalyse.
Etymologi Ordet «ortogonal» har opphav i det greske ordet orthogonios, som betyr rettvinklet. På 1600- og 1700-tallet brukte en i engelsk også orthogon, orthogonium og orthogonion om en rettvinklet trekant.
Definisjon I et indreproduktrom , med indreproduktet , er to vektorer og ortogonale dersom indreproduktet mellom dem er lik null: R.D. Milne: Applied functional analysis, ... s.185
.
At to vektorer er ortogonale kan også skrives som .
En vektor er ortogonal til en mengde dersom er ortogonal til hver vektor i . To mengder og er ortogonale dersom hver vektor i er ortogonal til og hver vektor i er ortogonal til .
En mengde av vektorer er ortogonal dersom vektorene er parvis ortogonale. R.D. Milne: Applied functional analysis, ... s.193
Det ortogonale komplementet til en mengde er en mengde definert ved
.
Ortogonalitet og vinkler Generelt kan en i et normert indreproduktrom definere en vinkel mellom to ikke-null-vektorer, ved
.
I de euklidske rommene og svarer dette til den geometriske vinkeldefinisjonen. Vinkelen mellom to ortogonale vektorer er da 90 eller i radianer .
Eksempel Mengden av kontinuerlige funksjoner på et intervall er et indreproduktrom med indreprodukt
.
I intervallet vil de trigonometriske funksjonene og være ortogonale.
Egenskaper til ortogonale vektorer Nullvektoren er ortogonal til alle andre vektorer.
Pytagoras' læresetning For to ortogonale vektorer i et normert vektorrom gjelder en generalisering av Pytagoras’ læresetning:
.
Lineær uavhengighet En mengde ortogonale vektorer er lineært uavhengige, slik at
.
I et rom med endelig dimensjon vil en mengde av ortogonale vektorer definere en basis.
Ortonormerte vektorer I et normert vektorrom er en mengde vektorer ortonormert dersom
.
Her er Kronecker-delta. Vektorene er altså både ortogonale og har lengde lik 1.
En ortonormert mengde i et Hilbert-rom er maksimal hvis og bare hvis den eneste vektoren som er ortogonal til er nullvektoren. R.D. Milne: Applied functional analysis, ... s.200 En slik mengde definerer en basis i Hilbert-rommet.
Ortogonal projeksjon En lineær transformasjon sies å være idempotent dersom , og transformasjonen er da en projeksjon. Enhver vektor i kan skrives som en sum av to vektorer og , der den første ligger i rekkevidden til , den andre i nullrommet til : R.D. Milne: Applied functional analysis, ... s.43
Hvis er et lukket underrom av et Hilbert-rom , så kan en tilsvarende skrive enhver vektor i som en sum
.
Transformasjonen kalles den ortogonale projeksjonen av på . R.D. Milne: Applied functional analysis, ... s.188
Den ortogonale projeksjonen minimerer avstanden fra til . Dette er den beste tilnærmingen til ved hjelp av vektorer fra .
Ortogonale transformasjoner En ortogonal transformasjon er en lineær transformasjon som bevarer indreproduktet: R.D. Milne: Applied functional analysis, ... s.226
.
Både lengder og vinkler blir bevart ved en ortogonal transformasjon. Geometrisk svarer transformasjonen til en rotasjon.
Når vektorrommet er endelig-dimensjonalt, kan en linær transformasjon representeres ved en matrise. Til en ortogonal transformasjon svarer da en ortogonal matrise. En ortogonal matrise har egenskapene
Søylene i en ortogonal matrise er ortogonale vektorer, og det samme gjelder for rekkene.
Ortogonale funksjoner
Ortogonale polynom
Mange klasser av polynom er ortogonale, inkludert Tsjebysjev-polynom, Legendre-polynom og Laguerre-polynom. Disse polynomklasene er viktige i approksimasjonsteori.
Bessel-funksjoner Bessel-funksjoner er ortogonale.
Referanser
Litteratur
Eksterne lenker
Kategori:Lineær algebra