thumb|270px|Klassifisering av åtte baryoner i en 8-representasjon av Lie-gruppen SU(3). Gruppeteori er en gren innenfor matematikk som omhandler den algebraiske struktur til grupper. Teorien er av stor betydning på samme måte som beskrivelsen av egenskapene til ringer, tallkropper og andre strukturer. I tillegg er gruppeteori viktig i fysikk og da spesielt innen kvantemekanikken og elementærpartikkelfysikken. Her er de direkte forbundet med symmetrien til slike fysiske systemer. Det gjelder også de mulige krystallstrukturene som lar seg bestemme ut fra egenskapene til diskrete grupper. Spesiell og generell relativitetsteori er basert på egenskaper til Lorentz-gruppa som uttrykker fundamentale egenskaper ved tidrommet.
Alle grupper kan deles opp i to hovedklasser. Den ene inneholder diskrete grupper, som har element som er tellbare. Den andre klassen består av Lie-grupper hvor elementene er kontinuerlig forbundet med hverandre. Gruppeteorien for begge klasser har i stor grad bestått i å skape en systematisk oversikt over hvilke grupper som finnes og etablering av deres egenskaper.
Moderne gruppeteori kan føres tilbake til Niels Henrik Abel og Évariste Galois da de på begynnelsen av 1800-tallet fant kriteriene for løsning av polynomligninger. Augustin Cauchy utviklet gruppeteorien for permutasjoner som Arthur Cayley videreførte dette til mer abstrakte grupper. Noen tiår senere etablerte Sophus Lie teorien for kontinuerlige grupper ved å undersøke transformasjoner av funksjoner. Omtrent samtidig kom Ludvig Sylow frem til detaljerte egenskaper ved diskrete grupper. Felix Klein benyttet denne nye innsikten til å gi en mer fundamental beskrivelse av mulige geometrier i sitt Erlangen-program. Teorien for Lie-gruppene ble ferdig etablert av Élie Cartan. Den var avgjørende for Murray Gell-Manns klassifikasjon av elementærpartikler i 1961, noe som ga ham nobelprisen i fysikk.
Definisjoner
En gruppe består av en visse mengde elementer {a, b, ...} som man kan kombinere to og to. Denne binære operasjonen kan betegnes med symbolet × som tilsvarer en vanlig multiplikasjon av tall. Kombinasjonen kalles derfor også ofte for et produkt.S. Christofferson, Grupper, Ringar, Kroppar, LiberLäromedel, Lund (1975). ISBN 91-40-03485-2.
Grunnleggende antagelse er at når to element a og b kombineres på denne måten, skal resultatet a × b være et element i samme mengde. I tillegg skal operasjonen oppfylle følgende tre krav:
Kombinasjonen er assosiativ slik at (a × b) × c = a × (b × c) Det finnes et enhetselement e med den egenskap at e × a = a × e = a Hvert element a har en invers a−1 som oppfyller a × a−1 = a−1 × a = e
Disse tre antagelsene gjelder for alle grupper, både de diskrete og de kontinuerlige. Fra det tredje kravet følger det viktige resultatet at den inverse til et produkt er gitt ved . Hvis kombinasjonen av to gruppeelement oppfyller den kommutative loven slik at , har man med en abelsk gruppe å gjøre. Navnet går tilbake til Abel som viste at når røttene til en polynomligning kan beregnes ved de vanlige regningsartene kombinert med enkle rotutdragninger, har de en symmetri som tilsvarer en kommutativ gruppe.J. Reed og J. Aarnes, Matematikk i vår tid: En introduksjon, Universitetsforlaget, Oslo (1967).
Antall element i gruppen kalles dens orden. Er dens navn G, skrives dette vanligvis som |G |. Det tilsvarer kardinaliteten til mengden av gruppeelement.
Enkle eksempel
Mengden Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... } av heltall danner en uendelig, diskret gruppe hvor binæroperasjonen er vanlig addisjon. Enhetselementet er tallet 0, og den inverse til tallet n er -n. Gruppen er abelsk da . Likedan danner partallene 2Z = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ... } en gruppe under den samme kombinasjonen og med det samme enhetselementet. De utgjør en undergruppe under gruppen Z. Dette er også en syklisk gruppe hvor hvert element er tallet 2 multiplisert med et heltall. Man sier derfor at dette tallet genererer gruppen og skriver det som . Generelt er en syklisk undergruppe av Z generert av det naturlige tallet n. Derimot danner ikke oddetallene noen gruppe da summen av to slike tall er et partall.J.B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, Reading MA (1976).
De rasjonelle tallene Q danner også en uendelig, diskret gruppe hvor binæroperasjonen er vanlig multiplikasjon. Hvert tall har da formen hvor m og n er heltall forskjellig fra 0. Enhetselementet er slik at den inverse til m/n er ganske enkelt n/m.
Den minste, ikke-trivielle gruppen har bare to element (e, g). Da må som vanligvis skrives mer kompakt som . Elementet g har derfor en invers som er g selv, det vil si . Denne gruppen av andre orden betegnes normalt som Z2 eller C2 da den er syklisk. Ved en isomorfi kan den avbildes på de to tallene 0 og 1 der og . Elementene kombineres da med binær addisjon slik at 1 + 1 = 0 tilsvarer .
Lagranges teorem og faktorgrupper
Kombinasjonen av to element i en undergruppe H av en annen gruppe G gir alltid et element i samme undergruppe H. Det betyr at hvis man multipliserer hvert element i H med et et annet element g i G som ikke tilhører H, vil denne multiplikasjonen gi en mengde gH med forskjellige element. Da en undergruppe alltid inneholder enhetselementet, vil elementet g tilhøre mengden gH. Denne mengden kalles en restklasse eller kosett til delgruppen H.
Hvis elementet x tilhører samme restklasse, er slik at x -1g må være et element i H. Disse to elementene sies da å være ekvivalente slik at alle elementene til gruppen G kan deles opp i ekvivalensklasser som består av disse restklassene. Hver kan representeres ved et enkelt element som tilhører restklassen.
For å finne de forskjellige restklassene, multipliserer man H på samme måte et nytt element g' . Resultatet blir da enten den etablerte restklassen gH hvis g' er ekvivalent med g, eller så må man opprette en ny restklasse g'H. Etter å ha kombinert H med alle elementene i G på denne måten, vil man dermed ha fordelt disse over et visst antall forskjellige restklasser med det samme antall element. Hvis G inneholder n og H inneholder m element, vil man derfor ha
hvor k er et naturlig tall som angir antall restklasser. Det kalles indeksen til undergruppen H i G. Samtidig vil derfor også orden m til undergruppen H være en faktor i tallet n som er orden til gruppen G den tilhører. Dette viktige resultatet omtales vanligvis som Lagranges teorem og er oppkalt etter den franske matematiker Joseph Lagrange. På slutten av 1700-tallet gjorde han det første, systematiske forsøk på å løse femtegradsligningen på et tidspunkt der formell gruppeteori ennå ikke var etablert.I. Stewart, Galois Theory, CRC Press, Boca Raton FL (2015). ISBN 978-1-4822-4582-0.
Teoremet til Lagrange har den viktige konsekvens at grupper G hvis orden n = |G | er et primtall, har ingen ikke-trivielle undergrupper. Hvert element g i gruppen kan benyttes til å generere hele gruppen slik at man kan skrive der er enhetselementet. Man sier derfor også at hvert element i gruppen har orden n. Slike grupper er alltid sykliske. Orden til et element sies mer generelt å være antall ganger det må multipliseres med seg selv for å gi enhetselementet.
Faktorgrupper thumb|240px|Faktorgruppen G = Z/8Z har åtte element der 0 og 4 utgjør en invariant undergruppe H. Elementene til G kan dermed inndeles i fire restklasser som utgjør en ny faktorgruppe G/H med 8/2 = 4 element.
To element a og b som tilhører samme restklasse gH sies å være ekvivalente. Denne ekvivalensrelasjonen kunne også være basert på restklasser Hg hvor multiplikasjonen skjer fra høyre. Det vil generelt gi en annen fordeling i restklasser. Men når inndelingen er uavhengig av om multiplikasjonen gjøres fra høyre eller venstre slik at gH = Hg, vil restklassene få en ny, matematisk struktur. Betingelsen for det kan skrives som
og betyr at H er en normal eller invariant undergruppe i G. Da kan de ekvivalente elementene i hver restklasse betraktes som et element i en ny struktur. Produktet mellom to restklasser aH og bH kan da formelt skrives som
og er en kombinasjon av restklasser som gir dem en gruppestruktur. Den kalles faktorgruppen G over H og betegnes som G/H. Restklassen som består av elementene i den normale undergruppen H, er enhetslementet i denne faktorgruppen. På samme måte har elementet aH en invers som er restklassen Ha−1.
Det er viktig at denne binæroperasjonen mellom restklasser er entydig og uavhengig av hvilke representanter i hver slik klasse man velger å benytte. Velger man for eksempel å benytte elementet h1 i H for restklassen aH og tilsvarende h2 for bH, vil produktet (aH)(bH) = (ab)H tilsvare multiplikasjonen
Her er det avgjørende at H er en invariant undergruppe slik at man kan skrive h1b = b h3 hvor også h3 tilhører denne undergruppen. Hvis n er orden til G og m den til H, så har G/H orden n/m. Faktorgruppen har derfor en orden som er lik undergruppens indeks i modergruppen.
Faktorgrupper ble først oppdaget og benyttet av Évariste Galois da han fant kriteriene som måtte oppfylles for å kunne løse femtegradsligningen og andre polynomligninger av høyere rad ved algebraiske metoder. De har en meget viktig rolle i gruppeteori og mer generelt i moderne matematikk.
Noen eksempel
Heltallene Z danner en uendelig, diskret og abelsk gruppe under addisjon. På samme måte utgjør også delmengden nZ en uendelig undergruppe der n er et naturlig tall. Dette utgjør også en normal undergruppe da modergruppen Z er abelsk. Man kan nå dele alle heltallene opp i n restklasser hvor to og to restplasser kan kombineres ved addisjon. For eksempel, når n = 3 får man de tre restklassene 3Z, 3Z + 1 og 3Z + 2, mens klassen 3Z + 3 er den samme som 3Z. Som representanter for disse tre restklassene kan man benytte tallene 0, 1 og 2. De utgjør elementene i faktorgruppen Z/3Z som derfor har orden 3. Deres kombinasjon skjer ved modulær addisjon, det vil si i dette tilfellet modulo 3. Den inverse til elementet 1 er 2 og omvendt.
Generelt har faktorgruppen Z/nZ ialt n element som kombineres additivt modulo n og og benevnes ofte som Zn. Den kan igjen ha sine undergrupper. For eksempel, faktorgruppen har 8 element som kan representeres ved } hvor elementene 0 og 4 utgjør en invariant undergruppe H av andre orden. Alle elementene kan dermed deles opp i de fire restklassene }, }, } og }. De utgjør elementene i faktorgruppen G/H som har orden 8/2 = 4 som er indeksen til H i G.
Zn = Z/nZ er alltid en syklisk gruppe der elementene kombineres ved modulær addisjon og enhetselementet er restklassen som inneholder 0. Men samtidig utgjør disse restklassene en matematisk ring hvor man også kan kombinere elementene ved modulær multiplikasjon.S. MacLane and G. Birkhoff, Algebra, MacMillan Publishing Co., New York (1979). ISBN 0-02-978830-7. I det spesielle tilfellet at n er et primtall p, har da hvert element i ringen Z/pZ bortsett fra restklassen som inneholder 0, også en multiplikativ invers. Disse p - 1 restklassene danner dermed en abelsk gruppe under multiplikasjon som vanligvis angis ved (Z/pZ)× eller Z×p. Den inngår i ringen Zp = Z/pZ som da utgjør en endelig tallkropp som også kalles for en Galois-kropp og betegnes med Fp eller GF(p).
Homomorf avbildning thumb|240px|Diagram for en homomorf avbilding φ på faktorgruppen G/N der N = Ker φ er kjernen til avbildningen.
Elementene i en faktorgruppen G/H er restklasser som generelt inneholder flere element av modergruppen G. Hvert element i G blir dermed knyttet til en bestemt restklasse, det vil si til et element i faktorgruppen. Dette er derfor i alminnelighet en homomorfisk avbildning fra G til H.
På lignende måte kan en gruppe G avbildes homomorft på en annen gruppe G' . Det finnes da en funksjon φ som for hvert element g i G gir et element g' i G' slik at g' = φ(g). Det homomorfe bildet av G i G' kan da skrives som φ(G) eller Im φ der forkortelsen Im står for det engelske ordet Image.