Eit metrisk rom i matematikk er ei mengd der det er definert ein metrikk eller eit avstandsmål mellom to vilkårlege element i mengda.
Eit metrisk rom har ein struktur berre bygd opp omkring avstanden mellom to objekt, og definisjonen gjer det mogleg å studere matematiske samanhengar basert på dei formelle eigenskapane til avstandsmålet. Eit matematisk resultat der beviset byggjer eine og åleine på dei generelle eigenskapane til ein metrikk, vil vere gyldig i alle metriske rom.
Formell definisjon Eit metrisk rom er ei mengd der det er definert ein metrikk , det vil seie ein funksjon som for to element i mengda returnerer eit ikkje-negativ reelt tal:
Funksjonen må oppfylle følgjande aksiom. For alle , har me
(ikkje-negativitet) viss og berre viss (symmetri) (trekantulikskapen)
Komplette metriske rom Eit metrisk rom blir sagt å vere komplett dersom ei kvar Cauchyfølgje konvergerer til eit element som òg ligg i .
Mengda av reelle tal under metrikken er eit komplett metrisk rom. Det er derimot ikkje mengda av rasjonale tal med same metrikk. I er det mogleg å konstruere Cauchyfølgjer som konvergerer mot eit grense som sjølv ikkje er eit rasjonalt tal.
-omegn Ein -omegn til eit element i eit metrisk rom er definert som ei mengd
Ei punktert -omegn er definert tilsvarande ved å ekskludere elementet :
Avgrensa mengd i eit metrisk rom Ei undermengd i eit metrisk rom er avgrensa dersom det eksisterer eit objekt og ein positiv konstant slik at for alle
Døme på metriske rom Mengda av reelle tal under metrikken er eit metrisk rom. Meir generelt er alle dei euklidske romma metrisk rom. Eit kvart normert vektorrom er òg eit metrisk rom definert med metrikken .
Kjelder Denne artikkelen bygger på «Metrisk rom» frå , den 14. januar 2012.
Kategori:Matematisk analyse Kategori:Matematiske strukturar Kategori:Metrisk geometri Kategori:Topologi