ポラード・ロー離散対数アルゴリズム

ポラード・ロー離散対数アルゴリズム （ポラード・ローりさんたいすうアルゴリズム、）はが1978年に導入した離散対数問題のアルゴリズムであり、ポラード・ロー素因数分解法と似た構造を持つ。

このアルゴリズムの目的は、が生成する巡回群とその元に対し、となるを求めることにある。そのためにまず、このアルゴリズムは となる, , , を求める。巡回群の位数が既知の場合、は方程式の解として求まる。

, , , を求めるにはフロイドの循環検出法を用いて、数列のサイクルを検出する。この数列は、関数を用いて計算できるように選ぶ。が十分にランダムなら、この数列は平均ステップでループに入る。このような関数は、例えば以下のようにすれば定義できる：まず、を大きさがほぼ等しい3つの集合, , の非交和に分割する。のときはとをそれぞれ2倍する。のときはをインクリメントする。のときはをインクリメントする。

アルゴリズム を位数の巡回群、ではの生成元とし、をの分割とする。写像を以下のように定める：

また、とを

と定める。 入力 a: Gの生成元, b: Gの元 出力 ax = bを満たす整数xを返すか、失敗する

Initialise a0 ← 0, b0 ← 0, x0 ← 1 ∈ G,

i ← 1 loop xi ← f(xi-1), ai ← g(xi-1, ai-1), bi ← h(xi-1, bi-1)

x2i ← f(f(x2i-2)), a2i ← g(f(x2i-2), g(x2i-2, a2i-2)), b2i ← h(f(x2i-2), h(x2i-2, b2i-2))

if xi = x2i then r ← bi - b2i if r = 0 return failure x ← r−1(a2i - ai) mod p return x else # xi ≠ x2i i ← i+1, break loop end if end loop

計算量 実行時間はおよそである。と組み合わせた場合の実行時間は、をの最大の素因数としたときである。

参考文献