繰り返しゲーム

は同一のゲームを繰り返しプレイするゲームである。

概要ゲームを回プレイし、その後またをプレイし、これを合計回繰り返す。この一連の流れをひとつのゲームとして捉えたものが繰り返しゲームである（⇒ #定義）。このときはステージゲームと呼ばれる。

動学ゲーム一般において、行動は次の選択肢を変化させうる。例えば一度裏切ると次は協力の選択肢をそもそも選べなくなる。一方繰り返しゲームにおいては、あるステージの行動は以降のステージでの選択肢を変化させない。一度裏切っても次のステージでは協力と裏切りが変わらず選択肢にある。また、の利得間の大小関係はステージを経ても変わらない割引因子を導入する場合、同じ結果に対する利得がステージ間で異なるとは解釈しうる。それでも一括割引きなので、同じステージゲームの利得間の大小関係は維持される。。一見すると同士は独立しており各の損得のみに基づいてプレイしそうだが、必ずしもそうではない。

繰り返しゲームでは各の利得の合計・割引和・平均（の極限）などの形での利得を定める。プレイヤーはこのをプレイしているため、過去のプレイ結果や未来に期待できる利得を考慮しての利得を最大化する戦略を取りうる。例えば「早々に裏切ると今後ずっと協力できないので結局損」と考えうる。このように繰り返しゲームではの連続をひとつのゲームと捉えることでその独特の振る舞いを扱える。

振る舞いはの長さやの利得などに大きく影響を受ける。そのため繰り返しゲームはとなどに分類したうえで扱われることが多い（⇒ #分類）。有名な例に「囚人のジレンマの繰り返しゲーム」がある（⇒ #具体例）。

定義繰り返しゲームは「同一のゲームを繰り返しプレイするゲーム」である。繰り返されるゲーム（＝ステージゲーム）を、繰り返し回数を（含む）として、繰り返しゲームはで表現される。

ステージゲームステージゲーム（）は繰り返しゲーム内で繰り返しプレイされる単一のゲームである。と表記され、、、とも呼ばれる。

ステージゲームになるゲームの種類は様々である。静学ゲーム・動学ゲームどちらもあり、標準型ゲームや展開型ゲームなどの形式で表現される。各ステージゲームでは、1回プレイのときと同様に、プレイヤー達が戦略に基づいて行動をとり利得が発生する。ただし、プレイヤーはゲームの制約に沿ったうえで過去のプレイ結果や全体を考慮に入れて戦略を決めうる。

表現形式繰り返しゲームは展開型ゲームとして表現できる。

性質

ステージ単位でサブゲームの番目のステージゲームをとしたとき、以降のゲーム木はのサブゲームである。

展開型ゲームではサブゲームが定義され、サブゲームは情報集合を切断しない形でゲームから切り出されるp.43 より引用。。多くの繰り返しゲームではの結果情報が公開されてからが始まる。そのため展開型ゲームとしてみるとの第1手番は所属する情報集合に自身のみが属している。よってここ以降を切り出し、それが他の情報集合を切断していなければ、これをサブゲームとできる。

分類繰り返しゲームは繰り返し回数に応じて以下のように二分できる：（）: が有限（）: が無限無限回繰り返しゲームにはフォーク定理などの興味深い性質が備わっている。

特殊なケースとしてを不定あるいは観測不可にする繰り返しゲーム（無期限繰り返しゲーム）もあるp.4 より引用。。

具体例

囚人のジレンマゲームの繰り返しゲーム

囚人のジレンマでの自分の利得は、相手が協力的であろうと非協力的であろうと、自分が非協力の場合の方が大きくなるので、1回限りのゲームでは、利己的な個人は非協力を選択し、相手もまたそうするので、共に非協力というのが唯一のナッシュ均衡となる。

しかし、この囚人のジレンマ・ゲームを何回も繰り返すことができる場合には、戦略は、1回の行動選択のことではなく、過去の自分と相手との行動に応じて行動を切り替えたり切り替えなかったりするプログラムのことになる。例えば、最初は協力し、相手が協力する限り協力を続けるが、相手が1度非協力の態度をとれば非協力に切り替え、以後永久に非協力をとるというトリガー戦略や、最初は協力し、相手が協力なら協力、相手が非協力なら非協力で応じるというしっぺ返し戦略が登場する。

繰り返しゲームでの利得は時間を通じて現われるので、将来の予想利得は割り引かれる。割引率が十分に小さければ、今相手を裏切って非協力の態度をとることによって得られる一時的な利益を、相手の報復によって将来被る損失が上回るので、しっぺ返し戦略やトリガー戦略がナッシュ均衡となり、その結果、共に協力という状態が持続する。このことを一般化したのがフォーク定理である。

脚注

注釈

出典

参考文献

繰り返しゲーム

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