アレクサンドロフ拡大

数学の一分野位相空間論におけるアレクサンドロフ拡大（アレクサンドロフかくだい、）は、一点を追加することにより非コンパクト位相空間を拡大してコンパクト空間を得る方法である。名称はロシア人数学者パヴェル・アレクサンドロフに因む。

より精確に、位相空間に対し、のアレクサンドロフ拡大とは、適当なコンパクト空間と開埋め込みの組で、埋め込まれたのにおける補集合が一点（それをふつうと書く）となるようなものを言う。埋め込み写像がハウスドルフ埋め込みとなるための必要十分条件は、がコンパクトでない局所コンパクトハウスドルフ空間であることである。そのような空間に対するアレクサンドロフ拡大は一点コンパクト化（いってんコンパクトか、）あるいはアレクサンドロフコンパクト化 (Alexandroff compactification) と呼ぶ。アレクサンドロフコンパクト化を考えることの優位な点は、それが単純な操作であること、大抵幾何学的に意味のある構造となること、および任意のコンパクト化の中で極小であるという事実にある。不利な点は、それがハウスドルフコンパクト化を与えるのがコンパクトでない局所コンパクトハウスドルフ空間のクラスに限られることであり、この点は任意の位相空間というより広範なクラスにおいて存在するとは異なる特徴ということになる。

動機付け例 (逆立体射影) 一点コンパクト化の幾何学的によく実感できる例は、立体射影の逆を考えることで与えられる。立体射影は北極点を除く単位球面からユークリッド平面への同相写像を陽に与えるものであったことを思い出そう。その逆写像（逆立体射影）は開写像かつ、追加の点を添加して得られるコンパクトハウスドルフ空間への稠密な埋め込みとなる。立体射影により緯線円は平面円へ写されるから、北極点の基本近傍系を取り除いて得られる穴あき球冠は平面閉円板の補集合に対応する。より定性的に述べれば、における基本近傍系は、がのコンパクト部分集合を亙るときのによって与えられる。

この例はすでに一般の場合の鍵となる考え方を含んでいる。

位相空間からコンパクトハウスドルフ空間への埋め込みで稠密な像を持ち、埋め込み像の補集合 (remainder) が一点: となるならば、はコンパクトハウスドルフ空間において開、したがって局所コンパクトハウスドルフであるから、それに同相な原像も局所コンパクトである。さらに言えば、がコンパクトならばはにおいて閉であり、したがって稠密でない。よって、一点コンパクト化ができる空間は、コンパクトでなく、局所コンパクトかつハウスルドルフであることが必要十分である。さらに言えば、そのような一点コンパクト化において各の基本近傍系の像はの基本近傍系を与え、また（コンパクトハウスドルフ空間の部分集合がコンパクトとなるための必要十分条件はそれが閉であることだから）の開近傍はちょうどの補コンパクト部分集合のによる像にを添加して得られる集合でなければならない。

定義定義 [アレクサンドロフ拡大]集合としてとし、の任意の開集合およびの任意のコンパクト閉集合に対するの全体を開集合系とする位相を与えてを位相空間にする。ただし、は差集合である。がの開近傍であり、したがっての任意の開被覆がのコンパクト部分集合を除く全ての点を含むことから、がコンパクトであることが導かれる。包含写像をのアレクサンドロフ拡大と呼ぶ。

既にみたように、以下のような性質が満たされる: 写像は連続開写像であり、はの開集合として埋め込まれる; 空間はコンパクトである; 像はが非コンパクトのときにおいて稠密; 空間がハウスドルフとなるための必要十分条件はが局所コンパクトハウスドルフとなることである。

定義 [一点コンパクト化] 特にアレクサンドルフ拡大がのコンパクト化となるための必要十分条件はがコンパクトでない局所コンパクトハウスドルフ空間となることであり、この場合を特に一点コンパクト化あるいはアレクサンドルフコンパクト化と呼ぶ。

上で述べたように、一点を付け加える任意のコンパクト化はアレクサンドロフコンパクト化（に同型）でなければならない。また、がコンパクトでない任意のチホノフ空間とするとき、その任意のコンパクト化の同値類全体の成す集合上の自然な半順序のもと、任意の極小元はアレクサンドロフ拡大と同値になる。したがって、コンパクトでないチホノフ空間が極小コンパクト化を持つための必要十分条件が、それが局所コンパクトであることである。

例離散空間のコンパクト化正整数全体の成す集合の一点コンパクト化はに順序位相を入れたものに同相である。位相空間における点列がの一点に収束するための必要十分条件は、に対しおよびとおいて得られる写像が連続となることである。ここでには離散位相が入っているものとする。は局所コンパクトハウスドルフな離散空間の一点コンパクト化のデカルト冪からの連続像として定義される位相空間である。

連続的空間のコンパクト化 -次元ユークリッド空間の一点コンパクト化は -次元球面に同相である。これは最初の例で見たように、-次元の逆立体射影として埋め込み写像が与えられる。半開半閉区間の個のコピーの直積の一点コンパクト化はに同相である。連結部分集合の閉包もまた連結であるから、非コンパクト連結空間のアレクサンドロフ拡大も連結である。しかし、非連結空間の一点コンパクト化が「連結」となることが起こり得る。実例として、開区間の個のコピーからなる非交和の一点コンパクト化は -弁の円のブーケになる。コンパクトハウスドルフ空間との任意の閉部分集合に対し、差集合の一点コンパクト化はを一点につぶした等化空間に同相である。Joseph J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology (1988) Springer-Verlag (See Chapter 11 for proof.) が二つの局所コンパクトハウスドルフ空間であるとき、それらの直積空間の一点コンパクト化はで与えられる。ここでスマッシュ積は、一点和に関する等化空間として定義されるものである。

函数空間のコンパクト化局所コンパクトハウスドルフ空間上の連続函数全体の成す空間は局所コンパクトであるが、それがコンパクトとできるための必要十分条件は、それが一点を含むことである。

函手としてアレクサンドロフ拡大を、位相空間の圏（固有連続写像を射とする）から連続写像を対象とする圏への函手と見ることができる。

後者の圏においてからへの射とは、を満たす連続写像の対 : を言う。

特に、同相写像全体の成す空間はアレクサンドロフ拡大の空間に同型である。

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