抽象代数学において，環 上の加群 に伴う素イデアル（）あるいは の素因子とは， の（素）部分加群の零化イデアルとして生じる の素イデアルのタイプである．素因子全体の集合は通常 と書かれる．
可換環論において，素因子は可換ネーター環におけるイデアルの準素分解と結びついている．具体的には，イデアル が準素イデアルの有限交叉として分解されているとき，これらの準素イデアルの根基は素イデアルであり，素イデアルたちのこの集合は と一致する．またイデアルの「素因子」の概念と結びついているのは，孤立素因子 (isolated prime) と非孤立あるいは埋め込まれた素因子 (embedded prime) の概念である．
定義 零でない 加群 が prime module であるとは， の任意の非零部分加群 に対して零化イデアル となることである．prime module に対し， は の素イデアルである．
加群 に伴う素イデアル (associated prime) とは， を の prime submodule として の形のイデアルのことである．可換環論における通常の定義は異なるが同値である： が可換であるとき， に伴う素イデアル とは， の非零元 に対して の形の素イデアル，あるいは同じことであるが， が のある部分加群に同型な素イデアルのことである．
可換環 において， における（集合論的包含に関する）極小元は孤立素因子 (isolated prime) と呼ばれ，残りの素因子（すなわちある素因子を真に含むもの）は非孤立素因子 (embedded prime) と呼ばれる．
加群が coprimary であるとは，ある に対して ならばある正の整数 に対して となることをいう．可換ネーター環上の零でない有限生成加群 が coprimary であることとちょうど1つの素因子を持つことは同値である． の部分加群 が -primary とは， が で coprimary なことをいう．イデアル が -準素イデアルであることと は同値である；したがって概念は準素イデアルの一般化である．
性質 これらの性質や主張のほとんどは の86ページ以降に与えられている．
ならば， である．さらに が の本質部分加群ならば，それらの素因子は一致する． 可換局所環に対してさえ，有限生成加群の素因子の集合が空であることはあり得る．しかしながら，イデアルについての昇鎖条件を満たす任意の環（例えば右あるいは左ネーター環）において，すべての非零加群は少なくとも一つの素因子を持つ． 任意の一様加群は 0 個か 1 個の素因子を持ち，一様加群は coprimary module の例である． 片側ネーター環に対して，直既約移入加群の同型類の集合からスペクトル の上への全射がある． がアルティン環ならばこの写像は全単射になる． Matlis' Theorem: 可換ネーター環 に対して，直既約移入加群の同型類からスペクトルへの写像は全単射である．さらに，それらの類の完全代表系は で与えられる，ただし は移入包絡であり， は の素イデアル全体を渡る． 任意の環上のネーター加群 に対して， の素因子は有限個しか存在しない．
以下の性質は全て可換ネーター環 に対するものである：
すべてのイデアル は（準素分解を通して）準素イデアルの有限交叉として表せる．これらのイデアルのそれぞれの根基は素イデアルであり，これらの素イデアルはちょうど の元たちである．とくに，イデアル が準素イデアルであることと がちょうど1つの元を持つことは同値である． イデアル を含む任意のは に入る．これらの素イデアルはちょうど孤立素因子である． の素因子の集合論的和はちょうど の零因子，つまり， となるある が存在するような元 , の全体の集合である． が 上の有限生成加群ならば，部分加群の有限昇鎖列
であって各商 がある素イデアル に対して に同型であるようなものが存在する．さらに， のすべての素因子は素イデアル の集合に現れる．（一般にはすべての素イデアル が の素因子であるわけではない．） を の積閉集合とし， を自然な写像とする．このとき， 上の加群 に対して， . 上の加群 に対して， である．さらに， の極小元の集合は の極小元の集合と一致する．とくに， が極大イデアルからなるとき，等号が成り立つ． 上の加群 が長さ有限であることと が有限生成かつ が極大イデアルからなることは同値である.．
例 が有理整数環ならば，非自明な自由アーベル群と素冪位数の非自明なアーベル群は coprimary である． が有理整数環で が有限アーベル群ならば， の素因子はちょうど の位数を割り切る素数である． 位数 2 の群は有理整数 （自身の上の自由加群と考えて）の商であるが，その素因子 は の素因子ではない．
脚注
参考文献