配置集合

数学の集合論における配置集合（はいちしゅうごう、）あるいは集合の冪（べき、）は、二つの集合に対する演算で、からへの写像全体の集合を割り当てるものである。この集合はやなどと書かれる。これはまた、で添字付けられたの元の族の全体とも一致する。

例は実数列全体の成す集合を表す（数列空間も参照）。任意の空でない集合に対し、から空集合への写像は存在しない（の元の像となるべき元の存在は、がもともと元を持たないから、満たされることがない）。すなわち、が成り立つ。任意の集合に対して、空集合からへの写像はただ一つ存在する（空写像、すなわち空なグラフを持つ写像）。従って、配置集合は一元集合である。

濃度およびは有限集合とし、集合の位数をのように書くとき、配置集合の濃度に関してが成り立つことが示せる（重複順列の項を参照）。

またはが無限集合のとき、上記の等式は濃度の冪の定義として用いられる。このとき、の濃度がおよびの濃度のみで決まる（つまり、濃度が同じならばそのような集合の取り方に依存しない）ことが示せる。

歴史こんにち配置集合と呼ばれる構成を導入したのはゲオルク・カントールである。カントールがと呼んだ「の元に対するに値をとる配置」（, ）とは、「の各元にの定まった元を割り当てる規則であって、の元は繰り返し用いてよい」というもので、そのような規則は今日われわれがからへの写像と呼んでいるものに他ならない。における個々の配置を、規則を明示してと書くことにすれば、すべてのを元とする集合—すなわちに値をとるの相異なる配置全体の成す集合— を「のによる配置集合」と呼び、カントールはこれをで表した—すなわち。

注

注釈

出典

参考文献

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