実数値関数

実数値関数（じっすうちかんすう、）とは、値として実数を与える関数をいう。つまり、定義域のそれぞれの元に対し実数を割り当てる関数のことである。特に、定義域も実数の部分集合であるもの、すなわち実変数の実数値関数を実関数（じつかんすう、）という。

多くの重要な関数空間が、いくつかの実数値関数からなるものとして定義されている。

一般の実数値関数 を任意の集合とする。 を から への関数全体の集合で表すものとする。 は可換体であるので、 はベクトル空間であり、実数上の結合多元環は、以下のように定義できる。 ベクトル和: 加法単位元: スカラーとの積: 各点ごとの積: また、 は順序集合であることから、 には以下のような半順序が入る。

これによって、 はとある。

可測な実数値関数 ボレル集合の -代数は実数上に定義される重要な構造である。 が -代数を持ち、関数 が、すべてのボレル集合 に対して、その逆像 が の -代数に属しているとき、 は可測であるという。この可測関数はまた、うえで説明したようなベクトル空間と代数をつくる。

連続な実数値関数 実数は、位相空間であり完備距離空間である。連続な実数値関数（これは暗黙のうちに が位相空間であることを主張する）は位相空間や距離空間の理論で重要なものである。最大値の定理は、コンパクト空間上のすべての連続な実数値関数には（極小、極大にとどまらない大域的な）最小値と最大値が存在することを主張する。

実数値関数からなる主要な関数空間 実数値関数に特定の解析的性質（連続性、可微分性、可積分性など）を課すことにより、解析学や関数解析学で中心的な役割を果たす様々な関数空間（ベクトル空間）が構成される。

連続関数空間 : 位相空間 上の実数値連続関数全体からなる空間。 がコンパクトであるとき、一様ノルム のもとでバナッハ空間となる。 可積分関数の空間（Lp空間） : 測度空間 上の可測な実数値関数のうち、 の積分が有限であるもの全体（同値類）からなる空間。ノルム （）によりバナッハ空間となり、特に のときはヒルベルト空間をなす。 滑らかな関数の空間 , : 開集合 上で 回連続微分可能な、または無限回連続微分可能な実数値関数からなる空間。 ソボレフ空間 : 弱微分の意味で 階までの導関数が に属する実数値可測関数全体からなる空間。偏微分方程式の解の存在や正則性を論じる上で標準的な枠組みを提供する。 有界変動関数の空間 : 全変動が有限である実数値関数からなる空間。不連続性を許容する変分問題や画像処理などで応用される。

脚注

注釈

出典

文献