幾何学における三角形のシュタイナーの内接楕円（シュタイナーのないせつだえん）は、三角形の3辺の中点でその三角形に接する楕円である。中点楕円、ガウス楕円とも呼ばれる。この楕円はデリーH. Dörrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Their History and Solution (D. Antin 英訳), Dover, New York, 1965, problem 98. なお、邦訳には高津巌訳『数学ノ勝利』、根上生也訳『数学100の勝利』(3分冊)がある。Webcat Plusによってヤコブ・シュタイナーに属するものとされ、カルマンにより独立に証明されている. 。
シュタイナーの名前を冠するシュタイナー楕円は、この楕円との対比から「シュタイナーの外接楕円」と呼ばれることもある。
以下の解説で特に説明がない場合、a, b, c は三角形の3辺の長さを表す。
三角形上の座標による表記 シュタイナーの内接楕円の座標は三線座標によって以下のように表される。
重心座標では以下のようになる。
性質 シュタイナーの内接楕円の中心は、元の三角形の重心である。重心を中心とする唯一の内接楕円である。 シュタイナーの内接楕円の面積は、内接楕円の中で最も大きい。その面積は元の三角形の面積の 倍である. 。 シュタイナー楕円とは重心を共有するとともに相似の関係にあり、相似比は 1:2 であるとともに、両楕円の長軸および短軸はそれぞれ同一直線上に在る。したがって両楕円の焦点もまた同一直線上に在り、離心率は等しく、面積比は 1:4 である。 三角形に内接する二次曲線のうち、2辺以上の中点に接するのはシュタイナーの内接楕円のみである。 シュタイナーの内接楕円は中点三角形のシュタイナー楕円である。 シュタイナーの内接楕円の長軸と短軸の長さは以下の式で表される。
焦点間の長さは以下になる。
ただし Z は以下の式で与えられる。
複素数平面において、三角形の3つの頂点の座標を零点にもつような3次式を考えたとき、シュタイナーの内接楕円の焦点の座標はその3次式の導関数の零点となる（、冒頭の図も参照。）。 長軸は、3頂点からの距離が最も短くなる直線上にある. 。 G, F+, F− を三角形の重心と2つのフェルマー点とする。シュタイナーの内接楕円の長軸は∠F+GF−の2等分線上にある。また、2つの軸の長さは |GF−| ± |GF+| という式で表されるScimemi, Benedetto, "Simple Relations Regarding the Steiner Inellipse of a Triangle", Forum Geometricorum 10, 2010: 55–77.。 シュタイナー内接楕円の2つの軸はキーペルト放物線に接する。 シュタイナー内接楕円の2つの焦点は17点3次曲線上にあるThomson cubic。 クラーク・キンバリングの「BICENTRIC PAIRS OF POINTS」ではP(118),U(118)として登録されており、重心座標は以下の式で表される。すなわち、
として
三角形ABCに内接する楕円の焦点を P, Q とすると以下の式が成り立つAllaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, "Proving a nineteenth century ellipse identity", Mathematical Gazette 96, March 2012, 161-165.。
△ABCと重心に対する九点円錐曲線である。
出典