数学の解析学、特に実解析や調和解析の分野において、バーンバウム＝オルリッチ空間（バーンバウム＝オルリッチくうかん、）または単にオルリッチ空間（）は、Lp 空間を一般化する函数の空間である。Lp 空間と同様に、この空間はバナッハ空間である。1932年にこの空間を定義したとの名にちなむ。
Lp 空間の他にも、解析学において自然に現れる多くの函数空間はバーンバウム＝オルリッチ空間である。そのような空間の一つとして、ハーディ＝リトルウッドの極大函数の研究に現れる空間 L log+ L がある。その他にも、多くの重要なソボレフ空間や、もこのクラスに含まれる。
正式な定義 は集合 上のσ-有限測度とし、 はヤング函数、すなわち凸函数、下半連続、かつ非自明な函数とする。ここで非自明とは、 が恒等的に 0 ではなく、かつ次の函数
でもないことを意味する。
を、積分
であるような可測函数 の集合とする（ほとんど至る所で一致する函数は同一視する）。
この集合はベクトル空間とは限らない（スカラー倍について閉じない場合がある）。 によって張られるベクトル空間をオルリッチ空間と呼び、 と表記する。形式的には次のように定義される：
また、小オルリッチ空間（） は次のように定義される：
これは に含まれる最大の線型空間である。
ノルム 上のノルム（オルリッチノルム）を定義するために、 を の補ヤング函数とする。このときノルムは次で与えられる。
また、ルクセンブルクノルムと呼ばれる等価なノルムも定義される：
これら2つのノルムは、任意の可測函数 に対して を満たすLéonard, Christian. "Orlicz spaces." (2007).。
性質 完備性: オルリッチノルムおよびルクセンブルクノルムは完備である。 双対性: と は互いに双対バナッハ空間となる。特に が成り立つとき、 と はトポロジカルな双対空間である。 Lp空間との関係: （）の場合、オルリッチ空間は通常の 空間に一致し、さらに であれば となる。
ソボレフ空間との関係 ある種のソボレフ空間はオルリッチ空間に埋め込まれる。すなわち、リプシッツ領域 を持つ有界開集合 に対して、
ならば
が成り立つ。これは次のの解析的な内容である：リプシッツ境界 を持つ開かつ有界な集合 に対して、空間 , を考える。このとき、次を満たす定数 が存在する。
確率変数のオルリッチノルム 同様に、確率変数のオルリッチノルムは空間を次のように特徴づける：
このノルムは同次であり、この集合が空でない場合のみ定義される。
のとき、このノルムは確率変数の p 次モーメントと一致する。指数函数の族におけるその他の特別な場合は、函数 （）に対して考えられる。 ノルムが有限であるような確率変数はと呼ばれ、 ノルムが有限であるような確率変数は劣指数的（sub-exponential）と呼ばれる。実際、 ノルムの有界性は次の確率密度函数の極限における挙動を特徴づける：
したがってこの確率密度函数の末尾は漸近的に似たものであり、 によって上に有界となる。
ノルムは狭義単調積率母函数によって容易に計算できる。例えば、自由度 K のカイ自乗確率変数 X の積率母函数は であり、したがって ノルムの逆は積率母函数の函数的逆と関連する。すなわち
が成立する。
脚注
関連項目 関数空間 バナッハ空間 バナッハ関数空間 ルベーグ空間 ヤングの不等式 凸関数 ヤング関数 ハーディ空間 ソボレフ空間 準ノルム モジュラー関数空間 凸共役性 ムシエラク＝オルリッチ空間
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