トマエ関数（トマエかんすう、）とは、カール・ヨハネス・トメ（カール・ヨハネス・トマエ）にちなんで名づけられた実変数実数値関数である。ポップコーン関数、雨滴関数、 countable cloud function、修正ディリクレ関数、定規関数（ruler function）、リーマン関数、あるいはバビロンの星空（Stars over Babylon、ジョン・ホートン・コンウェイによる命名）など、多くの別名を持つ。
トマエは、リーマン積分に関する初期の教科書において、無限個の不連続点を持つ積分可能な関数の例としてこの関数を挙げた。
定義 トマエ関数 は次のように定義される。
すべての有理数は互いに素な と を用いて一意に表されるため、この関数は適切に定義された関数である。
性質 有界性: すべての実数に対して単位区間に写る。すなわち である。 周期性: 周期 1 の周期関数である。任意の整数 に対して が成り立つ。 連続性: すべての有理数において不連続であり、すべての無理数において連続である。不連続点の集合（有理数体）は実数体において稠密である。 微分不可能性: すべての点において微分不可能である。 極大値: 各有理数において狭義の局所極大値をとる。したがって、トマエ関数は「至る所稠密な局所極大値の集合」を持つ関数の例となっている。 リーマン積分: 任意の区間上でリーマン積分可能であり、その積分値は常に 0 となる。これは、不連続点の集合（有理数）がルベーグ測度 0 の可算集合であるためである。 次元: 区間 における関数のグラフの箱数次元は である。
関連する確率分布 トマエ関数に関連する経験的な確率分布は、DNAシーケンシングの分野で見られる。ヒトのゲノムは二倍体であり、各染色体に2つの鎖を持つ。シーケンシングによって生成された「リード」の比率は有理数となり、通常、トマエ関数とよく似た分布を示す。
独立した整数ペアから生成された比率の分布において、整数がセット 上の一様分布に従う場合、その分布は となり、これはトマエ関数に非常に近い性質を持つ。
定規関数 整数の場合、 を割り切る最大の 2 のべき指数の値は、0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0...（）という数列を生成する。これに 1 を加えると、1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4...（）となる。これらの値は、1/16 単位の定規の目盛りに似ているため、「定規関数」と呼ばれる。これらの値は、トマエ関数を分母が 2 の冪である二進有理数に制限した際の値に対応している。
関連する問題 トマエ関数が「有理数で不連続、無理数で連続」であることから、「逆に有理数で連続、無理数で不連続な関数は存在するか？」という問いが自然に生じる。しかし、そのような関数は存在しない（ヴォルテラの定理）。 任意の関数の不連続点の集合は、Fσ集合でなければならない。もしそのような関数が存在すれば、無理数の集合は 集合（閉集合の可算和）となり、結果として実数体全体が疎集合の可算和（第一類集合）となってしまう。これは、実数体が完備距離空間としてベールのカテゴリー定理を満たすこと（第二類であること）に矛盾する。
トマエ関数の変種を用いることで、任意の実数の 部分集合 に対して、 を不連続点の集合とする関数を構成できる。 を閉集合 の可算和とするとき、次のように定義すればよい。
脚注
関連項目 ベール関数 カントール関数 ディリクレの関数 病的な (数学) ヴォルテラの定理
参考文献