コンパクト一様収束

数学においてコンパクト一様収束あるいはコンパクト収束、あるいは広義一様収束 (compact convergence, uniform convergence on compact sets) とは、一様収束の概念を一般化したのタイプである。コンパクト開位相と関係する。詳細には値域が距離空間（あるいはより一般に一様空間）であれば、コンパクト開位相で収束する必要十分条件は、定義域の各コンパクト部分集合上で一様収束する事（これを広義一様収束あるいはコンパクト収束という）である。

定義を位相空間とし、を距離空間とする。関数列

がのとき関数にコンパクト収束するとは、すべてのコンパクト集合に対してがのとき上に一様収束することをいう。これはすべてのコンパクトなに対して

が成り立つことを意味する。

一様空間および有向点族への一般化終域が距離空間ではなく一般の一様空間（一様構造を備えた位相空間）である場合も、各コンパクト集合上での一様収束を通じてコンパクト収束が定義される。

位相空間から一様空間への関数列（あるいはより一般に有向点族）が関数にコンパクト収束するとは、任意のコンパクト集合およびの任意の近傍（entourage）に対して、ある添字が存在し、すべてのとすべてのに対して

が成り立つことをいう。

この定義は、位相ベクトル空間や関数空間の位相構造（コンパクト開位相など）を論じる際や、一般の位相空間論において標準的に用いられる。

例および（通常の位相）とし、とすれば、は定数関数 0 にコンパクト収束するが、一様収束ではない。

とし、とすれば、は上で0の値を，上で 1の値を取る関数に各点収束するが、コンパクト収束しない。

コンパクト収束を示す非常に強力な道具はアスコリ・アルツェラの定理である。この定理にはいくつかのバージョンがあるが、おおまかに言えば、同程度連続かつ一様有界な写像の列は連続写像にコンパクト収束する部分列を持つ、というものである。

性質一様にであれば、コンパクトにである。がコンパクト空間でコンパクトにであれば、一様にである。が局所コンパクトであれば、コンパクトにであることと局所一様にであることは同値である。がであり、コンパクトにであり、各が連続であれば、は連続である。

解析学における応用コンパクト一様収束は、複素解析（一変数および多変数複素解析）や超関数の理論において極めて重要な役割を果たす。

複素解析（正則関数の幾何学）複素平面の領域上で定義された正則関数の列が関数にコンパクト一様収束するとき、以下の強力な性質が成り立つ（ワイエルシュトラスの二重級数定理）：

極限関数もまた上で正則である。導関数列は、にコンパクト一様収束する（すなわち、微分と極限操作が交換可能である）。高階導関数に関しても同様である。

実解析における微分可能性の保存には導関数列の一様収束が必要となるが、複素解析においてはコーシーの積分公式により、元関数のコンパクト一様収束のみから導関数列のコンパクト一様収束が自動的に従う。

また、正規族に関するモンテルの定理は、領域上で局所有界（すなわち各コンパクト集合上で一様有界）な正則関数の族は同程度連続となり、コンパクト一様収束する部分列を必ず持つことを主張する。これは複素解析におけるアスコリ・アルツェラの定理の応用例である。

フレシェ空間と超関数理論位相空間上の連続関数全体からなる空間において、が可算個のコンパクト集合の族で覆える場合（局所コンパクトかつσ-コンパクトなど）、コンパクト集合上の半ノルムの可算族によって評価されるコンパクト開位相は、距離付け可能かつ完備な空間（フレシェ空間）の構造を導入する。この位相における収束がまさにコンパクト一様収束である。

このフレームワークは、滑らかな関数の空間や超関数（ディストリビューション）のテスト関数空間の位相を定式化する基礎となる。

コンパクト一様収束

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