数学、とくに群論において、群 の部分集合 の中心化群 () とは、 の各元と可換な の元全体からなる集合であり、 の正規化群 (normalizer) とは、「全体で」 と可換な の元全体からなる集合である。 の中心化群と正規化群は の部分群であり、 の構造について知る手掛かりを得られる。
定義 群 の部分集合 の中心化群 (centralizer) は次で定義されるJacobson (2009), p. 41。
文脈から群 が明らかなときには、表記 から を省くことがある。また が単集合 } のときには中心化群 は と略記される。この中心化群の別の表記として もあるが、これはあまり一般的でなく、群の中心の表記と同じになってしまう。この表記では、群 の中心 と元 の中心化群 とを混同しないよう注意しなければならない。
群 における の正規化群 (normalizer) は次で定義される。
中心化群の定義と似ているが同じではない。 が の中心化群の元で が の元であれば、 でなければならないが、 が正規化群の元であれば、 とは異なってもよい に対して である。中心化群のときに述べた、 を省いたり単集合のときにブレース（中括弧）を省いたりする記法は、正規化群の表記に対しても同じく適用される。 の正規化群を の (normal closure) すなわち、 の生成する正規部分群 と混同してはならない。
性質 下記の性質は による。
の中心化群と正規化群はともに の部分群である。 明らかに、 である。実は、 は必ず の正規部分群である。 は を含むが、 は を含むとは限らない。 のすべての元 に対して であれば含む。なのでもちろん が の可換な部分群であれば は を含む。 が の部分半群であれば、 は を含む。 が の部分群であれば、 を正規部分群として含むような最大の の部分群が である。 元 の属する共役類の大きさと中心化群の指数 は等しい。 群 の部分群 と共役な部分群の数と正規化群の指数 は等しい。 の部分群 は、 であるときに、 の自己正規化部分群 (self-normalizing subgroup) と呼ばれる。 の中心はちょうど であり、 がアーベル群であることと は同値である。 単集合に対して、 である。 対称性により、 と が の 2 つの部分集合であれば、 と は同値である。 群 の部分群 に対して、N/C定理 (N/C theorem) は、剰余群 は の自己同型群 の部分群に同型であるという定理である。 および であるから、N/C theorem は、 は、G のすべての内部自己同型からなる、 の部分群 に同型であるということも意味している。 群準同型 を によって定義すれば、 と を の への群作用の言葉によって記述できる： の における安定化群は であり、 を固定する の部分群は である。
脚注
参考文献
関連項目 交換子 (commutator) 安定化部分群 (stabilizer subgroup) 交換団 (commutant)
ru:Центр группы