力学系理論における双曲型不動点（そうきょくがたふどうてん、）は不動点または平衡点の一種で、ベクトル場の場合はヤコビ行列の全ての固有値が虚軸上にない不動点、写像の場合はヤコビ行列の全ての固有値が単位円上にない不動点である。双曲型固定点とも呼ばれる。ベクトル場の場合は双曲型平衡点とも呼ばれる。
双曲型不動点は、吸引点、湧出点、鞍点の3つに大まかに分類される。吸引点は漸近安定、湧出点と鞍点は は不安定（リアプノフ安定ではない）と、それらの安定性を識別できる。双曲型不動点で特に重要な点は、与えられた系が非線形であっても双曲型不動点の近傍での振る舞いは、その系を線形化した振る舞いと位相共役になることである。これにより、双曲型不動点での線形近似に正当性を与えることができる。
定義 離散力学系の場合 を実数全体の集合、 を複素数全体の集合、 を整数全体の集合、 を複素数 の実部、 を複素数 の虚部とする。次のような から への（もっと一般的には多様体 上での）可微分写像または微分同相写像 を考える。
一般に、写像 において を満たす点 を不動点や固定点と呼ぶ。さらに、可微分写像 の不動点 におけるヤコビ行列
の全ての固有値 が複素平面で単位円上にないとき、すなわち について が成り立つとき、不動点 を双曲型であるという。
同相写像 の 回反復合成を と表す。一般に、 に対して で、かつ を満たすような点 を周期 の周期点と呼ぶ。不動点は周期 の周期点でもある。周期 の周期点が双曲型であるとは、 の におけるヤコビ行列 が上と同じ条件を満たす（全ての固有値が単位円上にない）ことをいう。
連続力学系の場合 を独立変数とし、 を従属変数あるいは未知関数とする自励系常微分方程式あるいは自励系ベクトル場
または
を考える。ここで、
である。一般に、このようなベクトル場 において を満たす点 を不動点や平衡点や固定点と呼ぶ。初期条件 を満たす解（流れ）を と表す。独立変数 を時間と見なすと、 は を 時間後の値 へ写す写像である。不動点 では、任意の について が成り立つ。
可微分ベクトル場 の不動点 におけるヤコビ行列
の全ての固有値 が複素平面で虚軸上にないとき、すなわち について が成り立つとき、不動点 を双曲型であるという。
離散力学系の場合と同様に、ある が存在して、 に対して で、かつ を満たすような点 を周期 の周期点と呼ぶ。周期点 を通る軌道 を周期軌道と呼び、 で周期 の周期軌道を表す。
時間後の値へ写す流れ のヤコビ行列を と表す。周期軌道上の点 における の固有値は となり、固有値 には固有ベクトル が対応する。 は特性乗数と呼ばれる。 が 上であれば特性乗数は常に同一となる性質があるので、ある周期軌道に対して1組の特性乗数が定まる。ある の全ての特性乗数 が複素平面で単位円上にないとき、すなわち について が成り立つとき、周期軌道 を双曲型であるという。
周期軌道 の特性乗数は、 に対してポアンカレ写像 を取ったとき、 の におけるヤコビ行列 の固有値に等しい。よって、周期軌道 が双曲型であるとはポアンカレ写像の不動点 が双曲型であることでもあり、逆に言えばポアンカレ写像を通じて周期軌道の双曲型を定義することもできる。
双曲型ではない場合 離散力学系・連続力学系の不動点が双曲型の条件を満たさない場合は、その不動点は非双曲型と呼ばれる。双曲型と対照的なのが楕円型である。写像の場合は、不動点 におけるヤコビ行列の全ての固有値 が複素平面で実軸を除く単位円上にあるとき、すなわち について かつ が成り立つとき、不動点 を楕円型であるという。ベクトル場の場合は、不動点 におけるヤコビ行列の全ての固有値 が複素平面で純虚数であるとき、すなわち について かつ が成り立つとき、不動点 を楕円型であるという。
性質 双曲型不動点で特に重要な点は、与えられた系が非線形であっても双曲型不動点の近傍での振る舞いは、その系を線形化した振る舞いと位相共役になることである。このことはハートマン・グロブマンの定理によって保証される。可微分写像 または可微分ベクトル場 の不動点を とし、原点を 、 の近傍を 、 の近傍を とする。 のヤコビ行列をそれぞれ と とし、それらを使い、線形写像 と線形微分方程式 を定義する。このとき、 が双曲型であれば、ある と と同相写像 が存在し、 上の と 上の は によって位相共役である。ベクトル場の場合も同様に、 が双曲型であれば、ある と と同相写像 が存在し、 上の によって定まる流れと 上の によって定まる流れは によって位相共役である。
不動点が双曲型であれば、その不動点の近傍の軌道は全て近づくか・離れるという意味で安定性を決定できる。大まかに双曲型不動点 は以下の3つに分類される。 写像の の全ての固有値が であるとき、ベクトル場の の全ての固有値が であるとき、 は吸引点、吸込点、沈点、吸引的などと呼ばれる。 写像の の全ての固有値が であるとき、ベクトル場の の全ての固有値が であるとき、 は湧出点、湧点、反発的などと呼ばれる。 写像の のいくつかの固有値が で、残りの固有値が であるとき、ベクトル場の のいくつかの固有値が で、残りの固有値が であるとき、 は鞍点、鞍状点、サドルなどと呼ばれる。
ハートマン・グロブマンの定理により、 が吸引点であれば、 は漸近安定である。 が湧出点あるいは鞍点であれば、 は不安定である（リアプノフ安定ではない）。 の絶対値の最大値を とし、あるいは の実部の最大値を とすれば、 あるいは ならば は漸近安定、 あるいは ならば は不安定というようにも整理できる。微分同相写像の不動点が双曲型のとき、絶対値が1よりも小さい固有値に対応する安定多様体と絶対値が1よりも大きい固有値に対応する不安定多様体が不動点で交わるように存在しており、安定多様体の上では前方軌道が不動点へ漸近し、不安定多様体の上では後方軌道が不動点に漸近する。可微分ベクトル場の場合も同様に、実部が負である固有値に対応する安定多様体と実部が正である固有値に対応する不安定多様体が双曲型不動点で交わるように存在している。
他方、不動点が非双曲型のときは、線形化しても不動点近傍の振る舞いを決めることができない。方程式の非線形の項が本質的に聞いており、安定性を知るには問題ごとに調べる必要がある。非双曲型不動点の安定性を調べる手法としては中心多様体の理論がある。双曲型不動点だと中心多様体は存在しない。
ハートマン・グロブマンの定理の系として、双曲型不動点はその近傍で構造安定であることが導かれる。つまり双曲型不動点はロバストである。任意の小さな摂動に対し、双曲型不動点近傍の相図の定性的な構造は変わらない。すなわち、微小な摂動が加わっても、双曲型不動点が存在し続け、かつ安定性の種類も変化しない。可微分写像あるいはベクトル場が および のようにパラメータ を持つとする。 の前後で相図の定性的な構造が変化するとき、 で分岐が生じたという。双曲型不動点は構造安定であるため、パラメータを変化させても不動点が双曲型であるかぎり分岐は起こらない。よって一般的には、不動点近くの軌道構造が変化する局所分岐は、不動点が双曲型から非双曲型に、あるいは非双曲型から双曲型になるときに起こる。
例 1次元離散力学系である 上の微分同相写像
を考える。この写像では が不動点で、その点における微分係数は であるので、 は双曲型である。さらに、 であることから は吸引点であり、 に近い点は写像の反復によって漸近的に に近づく。一方で、非双曲型不動点の例として
および
という2つの写像を考える。これらは が不動点なのは同じだが、それぞれ で非双曲型である。よって微分係数からは、不動点近くの振る舞いを決定できない。実際、 の は反発的だが、 の は吸引的となっている。
2次元連続力学系である 上の微分方程式
を考える。 かつ を満たす を求めると、 の3つが不動点である。この微分方程式系の右辺を と表すと、 の任意の点 におけるヤコビ行列は
である。 および の固有値はそれぞれ および なので、 は不安定な双曲型不動点である。一方で、 の固有値は なので、 は非双曲型不動点であり、その安定性を固有値からは判定できない。
広義の双曲型
双曲型という概念ないし言葉は、力学系の中で不動点に限らずもっと広い意味でも用いられる。線形写像 を定める行列 の全ての固有値の絶対値が ではないとき、線形写像 を双曲型と呼ぶ。同様に、線形微分方程式 を定める行列 の全ての固有値の実部が ではないとき、線形微分方程式 を双曲型と呼ぶ。双曲型不動点の特徴は、不動点に安定な方向と不安定な方向があることであったが、一般的な不変集合についても、その任意の点で安定な方向と不安定な方向があれば双曲型不変集合と呼ばれる不変集合を考えることができる。双曲型不動点や双曲型周期軌道は、双曲型不変集合の一例として含まれる。可微分写像 の双曲型不変集合 への制限 は双曲型力学系と呼ばれ、マルコフ分割によって記号力学系で系を表現可能という特徴を有する。
出典
参照文献