双対束

数学において、ベクトル束 の双対束 (dual bundle) はファイバーが のファイバーの双対空間であるようなベクトル束 である。双対束はの双対表現をとることによって construction を使うことによって構成することができる。

具体的には、変換関数が の の局所自明化が与えられると、 の局所自明化は のと同じ開被覆によって変換関数は （転置の逆）で与えられる。すると双対束 は を使って構成される。

例えば、可微分多様体の接束の双対は余接束である。

底空間 がパラコンパクトかつハウスドルフであれば、実の有限ランクのベクトル束 とその双対 はベクトル束として同型である。しかしながら、ベクトル空間と全く同じように、 に内積が与えられていない限り同型の選択は存在しない。これは複素ベクトル束の場合には正しくない、例えばリーマン球面上の (tautological line bundle) はその双対と同型でない。

脚注

参考文献 今野宏、『微分幾何学』 東京大学出版会、〈現代数学への入門〉、2013年、ISBN 9784130629713。