カーダー・パリージ・ザン方程式（) は、、ジョルジョ・パリージ、イー・チャン・ジャン らによって提案された、ランジュバン型の非線形の確率偏微分方程式であり、結晶の界面成長を記述する。しばしば提案した三人の頭文字を取って、KPZ方程式と略記される。
は、時刻 での における界面の高さを表し、 は界面張力、 は非線形効果の強さ、 は確率的なノイズを表す。ノイズ項 は、
を満たすホワイトノイズ、特にであるとする。ここで は角括弧で囲まれた物理量の配位空間での平均を表し、 はディラックのデルタを表す。また はノイズの強さである。
界面の高さ は、 に対する一価関数であることを仮定する。この仮定により、KPZ方程式で記述される界面は巨視的にはオーバーハングを持たない。
方程式の構成 右辺第2項の非線形項 がなければ、方程式はエドワーズ・ウィルキンソン方程式 になる。 界面の傾きを とし、その方向に速度 で界面が成長すると考えると、微小時間 の間に、界面の高さは だけ変化する。 と置き換えられることに注意すれば、
とテイラー展開することができる。展開の第1項は座標変換によって消去することができるので、最も主要な項は第2項の非線形項であり、これが KPZ方程式の非線形項を与える。
方程式の変形 コール・ホップ変換 高さの関数 を関数 を用いて、 と変換すると、KPZ方程式は以下のように書き直される対数の微分 を計算してから を両辺に掛ける。。この変換をコール・ホップ変換という。
これは時間依存するランダム・ポテンシャル中での拡散方程式になっている。 この方程式の解は形式的に、以下の形に書ける。
上記の経路積分より、 は、 と を結ぶ、 次元空間上の方向付きの高分子 のすべての配位に対するボルツマン因子の和であると見なせる。
バーガース方程式への変換 別の有用な変換として、ベクトル場 を用いて、界面の高さ を で書き換えると、方程式は以下の形になるKPZ方程式の各項について を左から掛ける。。
ここで と置けば、これは を渦なしの速度場としたときの、バーガース方程式にノイズを加えたものになっている。 あるいは を改めて に置き換えてもバーガース方程式の形に変形できる。
スケーリング
KPZ方程式をバーガース方程式へ変換した後、時間と空間に対し適当なスケール変換を施すと、
ノイズ について、 の関係を仮定したことに注意すれば、デルタ関数について、
と変換されるので、バーガース方程式は、
となる。ここで の項はスケール変換に対して不変であるとすると、指数 , について、 が成り立つことになる。
注釈
出典
参考文献
関連項目 フラクタル 結晶成長 繰り込み群