素数階乗素数

素数階乗素数（そすうかいじょうそすう、）とは、 を素数として、 の形で表される素数である。ここで、 は素数階乗（ 以下の素数の総乗）である。素数階乗素数は、 の形の素数である階乗素数の類似の概念である。2022年12月現在、42個が知られている。

ユークリッド数 素数に限らず、 の形の数をユークリッド数 (Euclid number) と呼ぶ。名の由来は、素数が無数に存在することの証明のために、ユークリッドがこの数を用いたと広く信じられていることによるユークリッドはより一般の議論をしたのであって、この数を用いたというのは正確ではない。M. Hardy and C. Woodgold, Prime Simplicity, Mathematical Intelligencer, volume 31, number 4, 2009, 44-52.。初めのいくつかのユークリッド数は、以下の通り。 , , , , , , , , , …（） このうち、素数であるもののみを抜き出すと、 , , , , , , …（） であり、この次の数は154桁になる。 が素数となるような素数 は、2024年8月現在で , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, （） の24個が知られている。このうち最大のもの は2,281,955桁の数で、2024年8月にItsuki Kadowakiにより発見されたPrime Bios, 。

クンマー数 の形の数は、クンマーがユークリッドの定理を証明するのに用いた、という由来があり、 第二ユークリッド数またはクンマー数(Kummer number)と呼ばれている。小さい順に以下の通りである。 , , , , , , , , , , …（） このうち、素数であるもののみを抜き出すと、 , , , , , , …（） である。 が素数となるような素数 は、2017年8月現在で , , , , , , , , , , , , , , , , , , , （） の20個が知られている。このうち最大のもの は476,311桁の数で、2012年3月に分散コンピューティングプロジェクトの PrimeGrid により発見された。

素数探索 の形の素数が無数にあるのかも、合成数が無数にあるのかも分かっていないGuy, A2。ポーヤ・ジェルジは、 が素数になる頻度はどのくらいか、と質問した学生に、「愚者が問うことができるが、賢者が答えることができない質問はたくさんある」と答えたというWells, primorial の項。

コールドウェルとギャロットは、2002年までに、 以下の全ての素数 に対して が素数であるかどうか検査したC. K. Caldwell, primorial prime - Prime Pages。ホイヤーがコールドウェルに非公式に伝えたところによると、2004年までに 42,507番目の素数 (512,903) 以下の p に対して、p# + 1 が素数であるかどうかは検査済みである。

脚注

参考文献 - Prime Pages を訳したもの

外部リンク

C. K. Caldwell primorial prime - Prime Pages.

関連項目 素数階乗 階乗素数 素数が無数に存在することの証明