数学の実解析あるいは測度論の分野におけるヴィタリの収束定理（ヴィタリのしゅうそくていり、）とは、イタリアの数学者ジュゼッペ・ヴィタリの名にちなむ定理で、アンリ・ルベーグの有名な優収束定理の一般化として知られる。一様可積分性に依存する強い結果であり、問題となる関数列に対して支配的な関数を見つけることが出来ないときに重宝する。そのような支配的な関数を見つけられるときは、ルベーグの定理がヴィタリの定理の特別な場合として従う。
定理の内容 を正の測度空間とする。もし
は一様可積分 a.e. as a.e. が満たされるなら、次が成立する:
.
優収束定理との関係 ヴィタリの収束定理は、古典的な優収束定理よりも適用範囲が広い。ルベーグの優収束定理において、関数列 がある可積分関数 によって と支配されているならば、その関数列は必然的に一様可積分となるため、ヴィタリの定理の条件を満たすことになる。
証明の概略 定理の1を証明するために、ファトゥの補題を用いる: 一様可積分性により、 であるような集合 に対して、 where が得られる。 より、 は集合 上で一様収束する。 を十分大きいとしたとき、すべての に対して が成立する。三角不等式により を得る。 これらの上界に関する不等式を、初めのファトウの補題による不等式の右辺に適用することにより、定理の1は示される。 定理の2のために、不等式 を用いる。ここで であり である。 この右辺の項はそれぞれ、上の定理の1と の一様可積分性、すべての に対するエゴロフの定理を用いることにより、任意に小さく出来ることが分かる。
定理の逆 を正の測度空間とする。もし
はすべての に対して存在する が満たされるなら、 は一様可積分である。
無限測度空間への一般化 測度空間が有限でない（）場合、一様可積分性に加えて、集合の外側での積分の振る舞いを制御する条件が必要となる。
定理: を任意の測度空間とする。 (a.e.) かつ と仮定する。このとき、次が成立することは同値である。
は一様可積分であり、かつ「無限遠で一様に小さい」。すなわち、任意の に対し、 かつ全 に対して を満たす集合 が存在する。
この後者の条件は、確率論においては「タイト性」と密接に関連しており、無限測度空間において可積分関数が一点に凝集したり、無限遠へ逃げ去ったりすることを防ぐ役割を果たす。
関連項目 関数列の収束
脚注
参考文献
外部リンク