一様可積分性（いちようかせきぶんせい、）とは、数学の実解析、関数解析学および測度論の分野における重要な概念で、ルベーグ可積分性の概念を拡張し、条件付き期待値やマルチンゲールの理論の発展のために重要な役割を担うものである。確率変数の収束において、この性質は、確率の意味において収束する確率変数が の意味において収束するための必要十分条件を与える。
形式的定義 次の定義が適用される。
確率変数のクラス が一様可積分であるとは、 が与えられた時、 がすべての に対して成立するような が存在することを言う。ただし は指示関数 である。
二箇条を必要とするような、別の定義は次のようなものである: 確率変数のクラス が一様可積分であるとは、 に含まれるすべての に対して、 となるような有限の が存在する。 すべての に対してある が存在し、 となるようなすべての可測な および、すべての に対して、 が成立する。 の二つが成立することを言う。
関連する系 次のような結果がある。 上の一つ目の定義は、次のような極限を用いることで書き換えられる:
確率変数 の列を考える。 と定義する。すべての n に対して であるため、明らかに である。しかし、上の一つ目の定義に従えば であることから、この数列は一様可積分ではない。すなわち、ルベーグ可積分ではあるが、一様可積分ではない。 上の二つ目の定義によれば、 が有界でないときにはその第一箇条目は成立しないことが分かる。もし が一様可積分な確率変数であれば、 と区分し、それぞれを上から抑えることにより、その確率変数は に含まれることが分かる。また、任意の 確率変数は、上の二つ目の定義の第二箇条目を満たすことが分かる。 確率変数 のどのような列も、ある可積分な非負の によって支配されているなら、すなわち、任意の ω と n に対して、 が成立しているなら、確率変数 のクラス は一様可積分である。 () において有界な確率変数のクラスは、一様可積分である。
関連する定理 –の定理Dellacherie, C. and Meyer, P.A. (1978). Probabilities and Potential, North-Holland Pub. Co, N. Y. (Theorem T25). 確率変数 のクラスが一様可積分であるための必要十分条件は、それが弱位相においてであることである。 の定理 (1966). Probability and Potentials, Blaisdell Publishing Co, N. Y. (p.19, Theorem T22). 族 が一様可積分であるための必要十分条件は、ある非負の増加凸関数 で および を満たすようなものが存在することである。
確率変数の収束との関係
数列 が ノルムにおいて へと収束するための必要十分条件は、それが へと測度収束し、かつ一様可積分であることである。 確率の意味において収束する確率変数列が、期待値の意味においても収束するための必要十分条件は、それが一様可積分であることである。
脚注
参考文献
J. Diestel and J. Uhl (1977). Vector measures, Mathematical Surveys 15, American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 978-0-8218-1515-1