数学の関数解析学における回帰的空間（かいきてきくうかん）または反射的空間（はんしゃてきくうかん、）とは、その双対空間の双対が元の空間と一致するようなバナッハ空間（より一般的には、局所凸位相ベクトル空間）のことである。回帰的なバナッハ空間はしばしばそれらの幾何学的な性質によって特徴付けられる。
定義 ノルム空間 X を、R あるいは C のノルム線型空間とする。その連続双対、すなわち X から基礎体（base field）へのすべての連続線形写像からなる空間を、 と表す。双対空間の記事において説明されるように、 はバナッハ空間である。二重双対（double dual） を、 の連続双対で定義する。このとき、自然な連続線形変換 J : X → を J(x)(φ) = φ(x) として、X 内のすべての x および X ′ 内のすべての φ に対して定義することが出来る。すなわち、J は x を、x において評価されるような 上の汎関数へと写す。ハーン-バナッハの定理に従い、J はノルム保存（すなわち、||J(x)|| = ||x||）であるため、単射である。J が全単射であるとき、空間 X は回帰的であると言われる（これはすなわち、回帰的なノルム空間はバナッハ空間であることを意味する。なぜならば X は完備空間 と等長であるからである）。空間 X が（位数 d で）準回帰的であるとは、X ′′/J(X) の次元 d が有限であることを言う。
局所凸空間 X を局所凸な位相ベクトル空間としたとき、連続双対 は、X の有界部分集合上一様収束する強位相 を持つ。この位相ベクトル空間は X の強双対（strong dual）と呼ばれ、ここでは と表記する。 の双対への、X の標準埋め込み J が全単射であるとき、X は半回帰的であると言われる。さらに、もし X 上の位相が強位相 と一致するなら、X は回帰的であると言われる。
注意 ノルム空間へと応用される場合、この節での定義はノルム空間に対する回帰性の定義と一致する。実際、バナッハ空間 X の双対 上のノルム位相は、強位相 と一致し、したがって、位相ベクトル空間としてのノルム空間 は X の強双対となる。また、X 上のノルム位相は と等しい。したがって、X が位相ベクトル空間として回帰的であることと、それがノルム空間として回帰的である（すなわち、単射 J が全単射である場合）ことは同値である。
動機 バナッハ空間理論において回帰性が重要視される主な動機は、有限次元ベクトル空間が持つ優れた性質（特に二重双対との自然な同一視）を、無限次元空間においてどの程度維持できるかを記述することにある。
通常、無限次元のバナッハ空間は、有限次元空間に比べて「大きすぎる」ため、有界集合がコンパクトにならないなどの困難が生じる。しかし、回帰的な空間は以下の観点から、有限次元空間に近い「扱いやすさ」を備えている。
有限次元との類似性 線形代数学において、有限次元ベクトル空間とその二重双対は、自然な同型写像によって区別できない。回帰的空間はこの性質を無限次元へと拡張したものであり、空間の構造を解析する上で双対性の議論を完結させることができる。 弱コンパクト性の利用 角谷の定理が示すように、回帰的な空間の閉単位球は弱位相に関してコンパクトである。これは、有界な点列から（弱位相の意味で）収束する部分列を取り出せることを意味し、無限次元における「有界閉集合はコンパクトである」というハイネ・ボレルの被覆定理の代用として機能する。 変分法や最適化への応用 弱コンパクト性の帰結として、回帰的空間上の下半連続な凸関数は、有界閉凸集合上で最小値を達成することが保証される。これは変分法において、エネルギー汎関数を最小化する関数の存在を証明するための決定的な道具となる。例えば、Lp空間（1 < p < ∞）が回帰的であることは、偏微分方程式の解の存在を示す上で基礎的な事実である。
例 すべての有限次元ノルム空間は回帰的である。なぜならば、単純に、そのような空間とその双対および二重双対はすべて同じ線形次元を持ち、したがって定義から線形単射である J は、階数・退化次数公式により、全単射となるからである。
無限大で 0 へと収束するようなスカラー列（数列）からなるバナッハ空間 c0 で、そのノルムを上限ノルムとするような空間は、回帰的ではない。これは後述の一般的性質として ℓ1 および ℓ∞ は回帰的ではないことから従う。なぜならば ℓ1 は c0 の双対と同型で、ℓ∞ は ℓ1 の双対と同型だからである。
すべてのヒルベルト空間は回帰的であり、また であるようなLp空間も回帰的である。より一般的に、すべての一様凸バナッハ空間は、ミルマン＝ペティスの定理にしたがい、回帰的となる。空間 L1(μ) および L∞(μ) は、例えば μ が有限集合の測度であるような、有限次元の場合の除いて、回帰的ではない。同様に、[0, 1] 上の連続関数からなるバナッハ空間 C([0, 1]) は回帰的ではない。
ヒルベルト空間 H 上のシャッテンクラス作用素からなる空間 Sp(H) は一様凸であり、したがって であるときには回帰的となる。H の次元が無限である場合、S1(H) （トレース級）は ℓ1 と同型な部分空間を含むため、回帰的ではない。また S∞(H) = L(H) （有界作用素）は、ℓ∞ と同型の部分空間を含むため、回帰的ではない。
すべての有限次元ハウスドルフ位相ベクトル空間は回帰的である。なぜならば、線形代数により J は全単射であり、有限次元ベクトル空間上にはただ一つのハウスドルフベクトル空間位相が存在するからである。
すべてのモンテル空間は回帰的な局所凸位相ベクトル空間である。また、モンテル空間の強双対も再びモンテル空間となり、したがって回帰的である。
すべての半回帰的なノルム空間は回帰的であるSchaefer 5.6。技巧的ではあるが、半回帰的であって回帰的でないような空間の例を次に挙げる:Y を無限次元の回帰的なバナッハ空間とし、X を位相ベクトル空間 、すなわち、弱位相を備えたベクトル空間 Y とする。このとき、X の連続双対は集合 であり、X の有界部分集合はノルム有界であるため、バナッハ空間 は X の強双対である。Y は回帰的であるため、 の連続双対は、標準埋め込み J に関する X の像 J(X) と等しいことになるが、X 上の位相は強位相 ではなく、これは Y のノルム位相と等しい。
性質 もしバナッハ空間 Y が、回帰的なバナッハ空間 X と同型であるなら、Y も回帰的である。 回帰的フレシェ空間，特に回帰的バナッハ空間のすべての閉部分空間は、回帰的である (一般の局所凸位相ベクトル空間では成立しない)。回帰的空間の双対は、回帰的である。回帰的バナッハ空間のすべての閉部分空間による商は、回帰的である。 回帰的なバナッハ空間の幾何的な性質は次のようなものである:C を、回帰的空間 X の空でない閉凸部分集合とするなら、X に含まれるすべての x に対して、C に含まれるある c が存在し、||x − c|| が x と C の点との距離を最小のものとする（ここで、x と C の間の最小距離は x によって一意に定まるが、c はそうならないことに注意されたい。X が一様凸であるなら、最も近い点 c は一意である）。
X をバナッハ空間とする。以下は同値である。 空間 X は回帰的である。 X の双対は回帰的である。 X の閉単位球は、弱位相においてコンパクトである（これは角谷の定理として知られるConway, Theorem V.4.2, p.135.）。 X に含まれるすべての有界列は、弱収束部分列を持つなぜならば、弱コンパクト性と弱点列コンパクト性はにより一致するからである。 X 上のすべての連続線形汎関数は、X 内の閉単位球上で最大値を取る（）。 回帰的なバナッハ空間が可分であることと、その双対が可分であることは同値である。このことは、すべてのノルム空間 Y に対して、その双対 の可分性は Y の可分性を意味する、という事実によりしたがう。 回帰的なバナッハ空間において、閉単位球が弱コンパクトであるという性質から、下半連続な凸関数が閉有界凸集合上で最小値をとることが導かれる。 回帰性はリースの補題によっても特徴づけられる。バナッハ空間 が回帰的であるための必要十分条件は、 の任意の閉固有部分空間 に対して、単位球面上のベクトル が存在し、全ての に対して を満たすことである。
半回帰性と回帰性の同値条件 ハウスドルフ局所凸空間 に対して、以下の条件は互いに同値である。 は半回帰的である。 の弱位相 に関して、すべての閉有界集合が弱コンパクトである（ハイネ・ボレルの性質）。 強双対位相を備えた 上の線形形式が連続であるための必要十分条件は、それが弱位相 に関して連続であることである。
また、ハウスドルフ局所凸空間 が回帰的であるための必要十分条件は、以下のいずれかが成り立つことである。 は半回帰的であり、かつ樽型空間（barreled space）である。 は半回帰的であり、かつ超樽型空間（infrabarreled space）である。
バナッハ空間における特徴付け ノルム空間 が回帰的であるための必要十分条件は、以下のいずれかが成り立つことである。 閉単位球が弱位相に関してコンパクトである（角谷の定理）。 はバナッハ空間であり、かつその強双対 が回帰的である。 ジェームズの定理: 上の任意の連続線形汎関数が、閉単位球上でその上限値（ノルム）を達成する。 空でない閉有界凸集合の減少列 の共通部分が空でない。
3空間性質 回帰性は、いわゆる3空間性質（three-space property）を持つ。すなわち、バナッハ空間 とその閉部分空間 について、以下の3つのうち2つが回帰的であれば、残りの1つも必ず回帰的となる。
商空間
超回帰的空間 バナッハ空間 が超回帰的（）であるとは、 に有限表現可能（finitely representable）な任意のバナッハ空間 が回帰的であることをいう。ここで、 が に有限表現可能であるとは、 の任意の有限次元部分空間 と任意の に対し、 のある部分空間 が存在して、バナッハ＝マズール距離 が成り立つことを指すJames, Robert C. (1972), "Super-reflexive Banach spaces", Can. J. Math. 24:896–904.。
超回帰的空間は、回帰的空間よりもさらに強い幾何学的性質を持つ。 すべてのヒルベルト空間は超回帰的である（ に有限表現可能な空間はヒルベルト空間に限られ、ヒルベルト空間は回帰的であるため）。 すべての一様凸空間は超回帰的である。 ペール・エンフロは、超回帰的なバナッハ空間は必ず一様凸な同等ノルム（元のノルムと等価なノルム）を持つことを証明した。
有限木による特徴づけ 超回帰性は、単位球内の「分離された木（separated trees）」の高さが制限されていることとしても特徴づけられる。 バナッハ空間 が超回帰的であるための必要十分条件は、任意の に対してある整数 が存在し、単位球内に含まれる任意の「-分離された二分木」の高さが 以下となることである。ここで、-分離された二分木とは、各内部接点がその2つの子の中心点であり、かつ子同士の距離が少なくとも 離れているようなベクトル族を指す。
他の型の回帰性 古典的な回帰性の概念を拡張したものとして、ステレオタイプ空間（）または極回帰的空間（polar reflexive space）がある。
ステレオタイプ空間 は、双対空間 の定義において、有界集合上の一様収束位相の代わりに、全有界集合（totally bounded subsets）上の一様収束位相を採用したときに、自然な写像 が位相ベクトル空間としての同型写像となるような空間である。
古典的な回帰的空間のクラスと比較して、ステレオタイプ空間のクラス（Ste）は非常に広く、すべてのフレシェ空間（したがってすべてのバナッハ空間）を含んでいる。さらに、Ste は閉モノイド圏を形成し、閉部分空間、商空間、射影極限、テンソル積などの標準的な操作について閉じているという優れた圏論的性質を持つ。これは非可換群の双対理論などに応用されている。
関連項目 双対空間 の概念は、回帰的空間のいくつかの特徴を備え、また実践的に重要な多くの空間を含むような一般化として知られる。
ミルマン＝ペティスの定理 - 一様凸空間は回帰的であるという定理。 ハーン–バナッハの定理 ジェームズ空間 - 回帰的ではないが、二重双対と等長同型なバナッハ空間の例。 - 回帰的であるが、いかなる や も部分空間として含まない空間の例。
弱位相 射影定理
注釈
参考文献 J.B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer, 1985.